Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，且點(diǎn)A_n（a_n，a_n+1）在函數(shù)y=

x

x+1

的圖象上．
（1）證明：{

1

an

}為等差數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）若{b_n}表示直線A_nA_n+1的斜率，且b_n＞m²-2m+

1

3

對n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用點(diǎn)A_n（a_n，a_n+1）在函數(shù)y=

x

x+1

的圖象上，可得an+1=

an

an+1

，兩邊取倒數(shù)得

1

an+1

=

1

an

+1，得到

1

an+1

-

1

an

=1，即可證明；
（2）利用（1）可得b_n，即可得出其最小值，已知b_n＞m²-2m+

1

3

對n∈N^*恒成立?[bn]min＞m2-2m+

1

3

，解出即可．

解答：（1）證明：∵點(diǎn)A_n（a_n，a_n+1）在函數(shù)y=

x

x+1

的圖象上，∴an+1=

an

an+1

，
兩邊取倒數(shù)得

1

an+1

=

1

an

+1，得到

1

an+1

-

1

an

=1，
∴數(shù)列{

1

an

}是首項(xiàng)為

1

a1

=1，公差為1的等差數(shù)列，
∴

1

an

=1+(n-1)×1=n，∴an=

1

n

．
（2）解：∵b_n=

an+2-an+1

an+1-an

=

1 n+2 - 1 n+1

1 n+1 - 1 n

=

n

n+2

，∴bn+1=

n+1

n+3

，
∴b_n+1-b_n=

n+1

n+3

-

n

n+2

=

2

(n+2)(n+3)

＞0，即數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列，其最小值為b1=

1

3

．
∵b_n＞m²-2m+

1

3

對n∈N^*恒成立，∴[bn]min＞m2-2m+

1

3

，
即

1

3

＞m2-2m+

1

3

，化為m²-3m＜0，解得0＜m＜3．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，3）．

點(diǎn)評：熟練掌握“取倒數(shù)法”求數(shù)列的通項(xiàng)公式、把已知等價轉(zhuǎn)化、一元二次不等式的解法等是解題的關(guān)鍵．