Question

某工廠在試驗(yàn)階段大量生產(chǎn)一種零件．這種零件有A，B兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)需要檢測(cè)，設(shè)各項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)與否互不影響．若有且僅有一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為

5

12

，至少一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為

11

12

．按質(zhì)量檢驗(yàn)規(guī)定：兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)都達(dá)標(biāo)的零件為合格品．
（1）求一個(gè)零件經(jīng)過檢測(cè)為合格品的概率是多少？
（2）任意依次抽出5個(gè)零件進(jìn)行檢測(cè)，求其中至多3個(gè)零件是合格品的概率是多少？
（3）任意依次抽取該種零件4個(gè)，設(shè)ξ表示其中合格品的個(gè)數(shù)，求Eξ與Dξ．

Answer 1

分析：（1）設(shè)A、B兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率分別為P₁、P₂，根據(jù)有且僅有一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為

5

12

，至少一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為

11

12

，建立方程組，即可求得一個(gè)零件經(jīng)過檢測(cè)為合格品的概率；
（2）利用對(duì)立事件概率計(jì)算方法，即可求得任意抽出5個(gè)零件進(jìn)行檢查，其中至多3個(gè)零件是合格品的概率；
（3）依題意知ξ～B（4，

1

2

），利用公式可得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)A、B兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率分別為P₁、P₂
由題意得：

P1•(1-P2)+(1-P1)•P2= 5 12 1-(1-P1)•(1-P2)= 11 12

，解得：P1=

3

4

，P2=

2

3

或P1=

2

3

，P2=

3

4

，
∴P=P1P2=

1

2

．
即一個(gè)零件經(jīng)過檢測(cè)為合格品的概率為

1

2

；
（2）任意抽出5個(gè)零件進(jìn)行檢查，其中至多3個(gè)零件是合格品的概率為1-

C

4 5

(

1

2

)5-

C

5 5

(

1

2

)5=

13

16

（3）依題意知ξ～B（4，

1

2

），
∴Eξ=4×

1

2

=2，Dξ=4×

1

2

×

1

2

=1

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算，考查二項(xiàng)分布的期望與方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．