Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知A₁（-3，0），A₂（3，0），P（x，y），M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若實(shí)數(shù)λ使向量，和滿足：，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為W．
（Ⅰ）求W的方程，并判斷W是怎樣的曲線；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)A₁且斜率為1的直線與W相交的另一個(gè)交點(diǎn)為B，能否在直線x=-9上找到一點(diǎn)C，恰使△A₁BC為正三角形？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知得λ²（x²-9）=x²-9+y²，即（λ²-1）x²-y²=9（λ²-1）…（2分）
①λ²＞1，方程為，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線
②λ²=0，圓心在原點(diǎn)，半徑為3的圓
③0＜λ²＜1，，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓
④λ²=1，直線 y=0…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）
設(shè)直線A₁B方程為y=x+3，由可得5x²+18x+9=0…（10分）
∴A₁（-3，0），B（-）
∴，
在直線x=-9上，離A₁（-3，0），最短距離為6，
∴|A₁C|＞，故無法形成正三角形
∴在直線x=-9上不存在點(diǎn)C，恰使△A₁BC為正三角形 …（12分）
分析：（Ⅰ）由已知得λ²（x²-9）=x²-9+y²，即（λ²-1）x²-y²=9（λ²-1），對(duì)λ²分類討論，即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）由（Ⅰ），由可得5x²+18x+9=0，求得，|A₁C|＞，即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線與方程，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．