Question

已知拋物線x²=2py上點(diǎn)（2，2）處的切線經(jīng)過橢圓的兩個頂點(diǎn)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過橢圓E的上頂點(diǎn)A的兩條斜率之積為-4的直線與該橢圓交于B、C兩點(diǎn)．請問：是否存在一點(diǎn)D，使得直線BC恒過該點(diǎn)？若存在，請求出定點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)A作直線BC的垂線，垂足為H，求點(diǎn)H的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求出拋物線在點(diǎn)（2，2）處的切線方程，得到橢圓的兩個頂點(diǎn)坐標(biāo)，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出過A點(diǎn)的兩條直線的斜率，寫出兩條直線AB和AC的直線方程，和橢圓方程聯(lián)立后求出B和C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合斜率之積等于-4可以證明直線BC所在的直線方程為，從而說明直線BC過定點(diǎn)（0，0）；
（3）設(shè)出H的坐標(biāo)，由題意可知，代入坐標(biāo)后可得H的軌跡方程．
解答：解：（1）將（2，2）代入x²=2py，得4=4p，所以p=1，故拋物線方程為x²=2y．
即．
y對x求導(dǎo)得y^′=x，所以拋物線x²=2y上點(diǎn)（2，2）處的切線的斜率為y^′|_x=2=2．
所以拋物線在點(diǎn)（2，2）處的切線方程為y-2=2（x-2），即y=2x-2．
它與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為（1，0），（0，-2）．
由題意可知，a=2，b=1．
所以橢圓E的方程分別為；
（2）假設(shè)直線BC恒過定點(diǎn)D．
設(shè)直線AB的斜率k_AB=k₁，直線AC的斜率k_AC=k₂，則k₁k₂=-4．
從而直線AB的方程為y=k₁x+2．
聯(lián)立，整理得．
從而點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，．
所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為．
同理點(diǎn)C的坐標(biāo)為．
于是，，．
，．
所以點(diǎn)B，C均在直線上．
而兩點(diǎn)確定一條直線，所以直線BC的方程為，即．
所以BC恒過定點(diǎn)D（0，0）；
（3）設(shè)H（x，y），由（2）知，∠AHO=90°，
所以．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124533127157990/SYS201310251245331271579021_DA/18.png">，
所以有x²+y（y-2）=0，即x²+（y-1）²=1．
所以H的軌跡方程為x²+（y-1）²=1（去掉點(diǎn)（0，2））．
點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了利用平面向量求軌跡方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了學(xué)生靈活處理問題和解決問題的能力，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬難題．