精英家教網(wǎng)一個正方體形狀的無蓋鐵桶ABCD-A1B1C1D1的容積是V,里面裝有體積為
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V的水,放在水平的地面上(如圖所示).現(xiàn)以頂點A為支撐點,將鐵桶傾斜,當(dāng)鐵桶中的水剛好要從頂點A1處流出時,棱AA1與地面所成角的余弦值為
 
分析:由已知中正方體ABCD-A1B1C1D1的容積是V,里面裝有體積為
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V的水,若以頂點A為支撐點,將鐵桶傾斜,當(dāng)鐵桶中的水剛好要從頂點A1處流出時,由等體積法,可得此時液面即為平面A1FH,建立空間坐標系,分別求出棱AA1的方向向量和平面A1FH的法向量,代入向量夾角公式,即可求出答案.
解答:精英家教網(wǎng)解:設(shè)初如狀態(tài)下,液面與四條側(cè)棱分別交于E,F(xiàn),G,H四點,如下圖示:
根據(jù)等體積法,以頂點A為支撐點,將鐵桶傾斜,當(dāng)鐵桶中的水剛好要從頂點A1處流出時,
液面依然經(jīng)過F,H點,則棱AA1與地面所成角θ即為棱AA1與平面A1FH的夾角
以A為坐標原點,AD,AB,AA1方向分別為x,y,z軸正方向,設(shè)正方體棱長為3,
AA1
=(0,0,3),
A1F
=(3,0,-1),
A1H
=(0,3,-1)
設(shè)平面A1FH的法向量
m
=(x,y,z),
3x-z=0
3y-z=0

m
=(1,1,3)
則sinθ=|
AA1
m
|AA1
|•|
m
|
|
=
3
11
11

則cosθ=
1-sin2θ
=
22
11

故答案為:
22
11
點評:本題考查的知識點是直線與平面的夾角,其中根據(jù)等體積法,得到滿足條件時,液面依然經(jīng)過F,H點,進而將問題轉(zhuǎn)化為棱AA1與平面A1FH的夾角,是解答本題的關(guān)鍵.
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一個正方體形狀的無蓋鐵桶ABCD-A1B1C1D1的容積是V,里面裝有體積為V的水,放在水平的地面上(如圖所示).現(xiàn)以頂點A為支撐點,將鐵桶傾斜,當(dāng)鐵桶中的水剛好要從頂點A1處流出時,棱AA1與地面所成角的余弦值為   

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