Question

我們稱離心率的橢圓叫做“黃金橢圓”，若為黃金橢圓，以下四個命題：
（1）長半軸長a，短半軸長b，半焦距c成等比數(shù)列．
（2）一個長軸頂點與其不同側(cè)的焦點以及一個短軸頂點構(gòu)成直角三角形．
（3）以兩條通經(jīng)的4個端點為頂點的四邊形為正方形．
（4）P、Q為橢圓上任意兩點，M為PQ中點，只要PQ與OM的斜率存在，必有k_PQ•k_OM的定值．
其中正確命題的序號為________．

Answer 1

解：（1）∵離心率=，不妨設a=2，c=，則b²=a²-c²==ac，∴長半軸長a，短半軸長b，半焦距c成等比數(shù)列，故正確；
（2）取A（a，0），B（0，b），焦點F（-c，0），而|BF|²+|BA|²=b²+c²+a²+b²=2a²+b²，|AF|²=（a+c）²=a²+2ac+c²=a²+2b²+c²=2a²+b²，
∴|BF|²+|BA|²=|AF|²，∴AB⊥BF，∴一個長軸頂點與其不同側(cè)的焦點以及一個短軸頂點構(gòu)成直角三角形，故正確；
（3）把x=c代入橢圓方程得，解得=±c．故正確．
（4）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），線段PQ的中點M（x₀，y₀），
則，，將兩式相減得，∴=0，又，∴，為定值．
綜上可知：（1）（2）（3）（4）都正確．
故答案為：（1）（2）（3）（4）．
分析：（1）利用橢圓的離心率及參數(shù)a、b、c的關(guān)系即可判斷出；
（20利用兩點間的距離公式及（1）的距離即可得出；
（3）把x=±c代入橢圓方程即可得出四個交點的坐標，進而判斷出答案；
（4）利用“差點法”及斜率計算公式即可得出．
點評：熟練掌握橢圓的離心率及參數(shù)a、b、c的關(guān)系、兩點間的距離公式、正方形的定義、“差點法”及斜率計算公式是解題的關(guān)鍵．