Question

已知實(shí)數(shù)u，v，定義運(yùn)算u*v=（u-1）v，設(shè)u=cosθ+sinθ，v=cosθ-sinθ-1，則當(dāng)

π

4

≤θ≤

2π

3

時(shí)，u*v是的值域?yàn)椋ā　。?/div>

• A、[-

  1

  2

   ， 

  3

  2

  ]
• B、[-

  1

  2

   ， 0]
• C、[0，4]
• D、[1-

  2

   ， 

  3

  2

  ]

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分析：首先利用條件求出u*v=（u-1）v=2（cos²θ-cosθ），然后設(shè)t=cosθ，并根據(jù)角的范圍得出t∈[-

1

2

，

2

2

]，再由根據(jù)二次函數(shù)的圖象特點(diǎn)可知值域即可．

解答：解：∵u=cosθ+sinθ，v=cosθ-sinθ-1
∴u*v=（u-1）v=（cosθ+sinθ-1）（cosθ-sinθ-1）=2（cos²θ-cosθ）
設(shè)t=cosθ 
∵

π

4

≤θ≤

2π

3

，
t∈[-

1

2

，

2

2

]
∴u*v=2（t²-t）
∴根據(jù)二次函數(shù)的圖象特點(diǎn)可知
當(dāng)t=

1

2

時(shí)，ymin=-

1

2

當(dāng)t=-

1

2

時(shí)，ymax=

3

2

∴u*v是的值域?yàn)閇-

1

2

，

3

2

]
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了余弦函數(shù)的定義域和值域，此題通過二次函數(shù)的特點(diǎn)求值域，解題過程中要注意定義域，屬于中檔題．

Answer 1

分析：首先利用條件求出u*v=（u-1）v=2（cos²θ-cosθ），然后設(shè)t=cosθ，并根據(jù)角的范圍得出t∈[-

1

2

，

2

2

]，再由根據(jù)二次函數(shù)的圖象特點(diǎn)可知值域即可．

解答：解：∵u=cosθ+sinθ，v=cosθ-sinθ-1
∴u*v=（u-1）v=（cosθ+sinθ-1）（cosθ-sinθ-1）=2（cos²θ-cosθ）
設(shè)t=cosθ 
∵

π

4

≤θ≤

2π

3

，
t∈[-

1

2

，

2

2

]
∴u*v=2（t²-t）
∴根據(jù)二次函數(shù)的圖象特點(diǎn)可知
當(dāng)t=

1

2

時(shí)，ymin=-

1

2

當(dāng)t=-

1

2

時(shí)，ymax=

3

2

∴u*v是的值域?yàn)閇-

1

2

，

3

2

]
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了余弦函數(shù)的定義域和值域，此題通過二次函數(shù)的特點(diǎn)求值域，解題過程中要注意定義域，屬于中檔題．