精英家教網(wǎng)在如圖所示的空間直角坐標系O-xyz中，原點O是BC的中點，A點坐標為(
3
2
，
1
2
，0)，D點在平面yoz上，BC=2，∠BDC=90°，∠DCB=30°．
（Ⅰ）求D點坐標；
（Ⅱ）求cos＜
AD，
BC
＞的值．
分析：（Ⅰ）在平面yoz上，通過解直角三角形即可求得D點的坐標；
（Ⅱ）由已知A點的坐標及（Ⅰ）中求得的D的坐標，得到向量
AD
的坐標，求出向量
BC
的坐標，然后由向量的夾角公式求解．
解答：解：（Ⅰ）如圖，
精英家教網(wǎng)
在平面yoz上，過D點作DH⊥BC，垂足為H．
在△BDC中，由∠BDC=90°，∠DCB=30°，BC=2，
得BD=
1
2
BC=1，DH=BDsin∠DBH=1×
3
2
=
3
2
，BH=
1
2
BD=
1
2
，OH=
1
2
，
∴D點坐標為(0，-
1
2
，
3
2
)；
（Ⅱ）由A(
3
2
，
1
2
，0)， D(0，-
1
2
，
3
2
)，得
AD
=(-
3
2
，-1，
3
2
)，
由題設(shè)知：B（0，-1，0），C（0，1，0），
∴
BC
=(0，2，0)，
AD
•
BC
=(-
3
2
，-1，
3
2
)•(0，2，0)=-2，
|
AD
|=
(-
3
2
)2+(-1)2+(
3
2
)2
=
10
2
，|
BC
=2|，
∴cos＜
AD
， 
BC
＞ =
AD
•
BC
|
AD
|•|
BC
|
=
-2
10
2
×2
=-
10
5
．
點評：本題考查了空間中點的坐標的求解，考查了利用空間向量求異面直線所成的角，考查了學生的計算能力，是中檔題．
練習冊系列答案
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（1）求直線A1D與B1C1所成角的余弦值；
（2）求直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值．

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（Ⅰ）求D點坐標；

（Ⅱ）求的值.

 

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三棱柱ABC-A1B1C1在如圖所示的空間直角坐標系中，已知AB=2，AC=4，AA1=3．D是BC的中點．
（1）求直線A1D與B1C1所成角的余弦值；
（2）求直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值．

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