Question

某工廠日生產(chǎn)某種產(chǎn)品最多不超過30件，且在生產(chǎn)過程中次品率p與日產(chǎn)量x（x∈N⁺）件間的關(guān)系為 
p=

x+20 200 0＜x≤15 x2+300 3000 15＜x≤30

，每生產(chǎn)一件正品盈利2900元，每出現(xiàn)一件次品虧損1100元．
（Ⅰ）將日利潤(rùn)y（元）表示為日產(chǎn)量x（件）的函數(shù)；
（Ⅱ）該廠的日產(chǎn)量為多少件時(shí)，日利潤(rùn)最大？
（注：次品率p=

次品個(gè)數(shù)

產(chǎn)品總數(shù)

×100%，正品率=1-p）

Answer 1

（Ⅰ）由題意得：
y=

2900(1- x+20 200 )x-1100× x+20 200 ×x 0＜x≤15 2900(1- x2+300 3000 )x-1100× x2+300 3000 ×x 15＜x≤30

=

2500x-20x2 0＜x≤15 2500x- 4 3 x3 15＜x≤30

（6分）
（II）當(dāng)0＜x≤15時(shí)，y=2500x-20x²，
∴當(dāng)x=15時(shí)，y取得最大值33000元…6分
當(dāng)15＜x≤30時(shí)，y=2500x-

4

3

x3
則y′=2500-4x²，令y′=0，則x=25
∵當(dāng)15＜x≤25時(shí)，y′≥0，當(dāng)25＜x≤30，y′＜0…8分
故當(dāng)x=25時(shí)，y取得最大值

125000

3

元…10分
∵33000＜

125000

3

∴當(dāng)x=25時(shí)，y取得最大值

125000

3

元
即該廠的日產(chǎn)量為25件時(shí)，日利潤(rùn)最大…12分