Question

【題目】（用空間向量坐標(biāo)表示解答）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱長都是4，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在CC1上，且CF=1．

（1）求證：EF⊥A1C；
（2）求二面角C﹣AF﹣E的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：以A為原點(diǎn)，在平面ABC中過A作AC的垂線為x軸，AC為y軸，AA1為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，

B（2 ，2，0），C（0，4，0），E（ ，3，0），F(xiàn)（0，4，1），A1（0，0，4），

=（﹣ ，1，1）， =（0，4，﹣4），

=0+4﹣4=0，

∴EF⊥A1C．

（2）解： =（ ）， =（0，4，1），

設(shè)平面AEF的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x= ，得 =（ ），

平面ACF的法向量 =（1，0，0），

設(shè)二面角C﹣AF﹣E的平面角為θ，

則cosθ= = = ．

∴二面角C﹣AF﹣E的平面角的余弦值為 ．

【解析】（1）以A為原點(diǎn)，在平面ABC中過A作AC的垂線為x軸，AC為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明EF⊥A1C．（2）求出平面AEF的法向量和平面ACF的法向量，利用向量法能求出二面角C﹣AF﹣E的平面角的余弦值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識，掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)．