Question

已知圓,若橢圓的右頂點(diǎn)為圓的圓心，離心率為．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若存在直線，使得直線與橢圓分別交于兩點(diǎn)，與圓分別交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，求圓的半徑的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(1) (2)

【解析】

試題分析：，

(1)從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到圓心的坐標(biāo)即為橢圓的右頂點(diǎn),即可得到a值，再由橢圓離心率、a值結(jié)合、abc之間的關(guān)系可得到b值,即得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

(2)聯(lián)立直線與橢圓方程并利用弦長(zhǎng)公式可用斜率k表示弦長(zhǎng)|AB|,|GH|.由對(duì)稱性得到|AB|=|GH|,得到r關(guān)于k的表達(dá)式,再根據(jù)表達(dá)式可以利用函數(shù)值域求法中的換元法解得r的取值范圍.

試題解析：

(1)設(shè)橢圓的焦距為2C，因?yàn)?/span>a=,,,所以橢圓C的方程為.

(2)設(shè)A,聯(lián)立直線與橢圓方程得,則,又因?yàn)辄c(diǎn)M()到直線l的距離d=。所以,顯然若點(diǎn)H也在直線AB上,則由對(duì)稱性可知,直線y=kx就是y軸與已知矛盾,所以要使得|AG|=|BH|,只要|AB|=|GH|,所以,

當(dāng)k=0時(shí),，當(dāng)k時(shí), ,由于,綜上.

考點(diǎn)：橢圓方程極其性質(zhì) 弦長(zhǎng)