已知拋物線x2=4y與圓x2+y2=32相交于A、B兩點(diǎn),圓與y軸正半軸交于C點(diǎn),直線l是圓的切線,交拋物線于M、N,并且切點(diǎn)在上.
(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)當(dāng)M、N兩點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)距離和最大時(shí),求直線l的方程.
解:(1)由得A(-4,4),B(4,4). 由得C(0,4). (2)設(shè)直線l:y=kx+b,且直線l與拋物線交于M(x1,y1)、N(x2,y2),拋物線x2=4y的準(zhǔn)線為y=-1,焦點(diǎn)為F,由拋物線定義知: d=|MF|+|NF|=y(tǒng)1+y2+2. 由得y2-2(b+2k2)y+b2=0, 則y1+y2=2(b+2k2). 又因?yàn)閘與圓相切于,所以=42,即k2=-1. 因?yàn)橹本l過C點(diǎn)時(shí),b取最小值4; 直線l過A或B點(diǎn)時(shí),b取最大值8, 所以b∈[4,8]. 所以d=+2b-2=(b+8)2-10. 當(dāng)b=8時(shí),d取最大值,此時(shí)k=±1,所以所求直線l的方程為y=x+8,或y=-x+8. 解析:設(shè)直線方程為y=kx+b,利用拋物線的定義,將點(diǎn)M、N到拋物線焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離,然后利用直線l與拋物線的關(guān)系,借助于直線l與圓相切,找出k與b的關(guān)系,再用配方法求出最值,從而確定直線方程. |
本題的難點(diǎn)有兩個(gè):一是如何建立b與k的關(guān)系;二是利用圖形去確定b的范圍,從而求出最大值. |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:設(shè)計(jì)選修數(shù)學(xué)2-1蘇教版 蘇教版 題型:044
如圖,已知拋物線x2=4y與圓x2+y2=32相交于A、B兩點(diǎn),圓與y軸正半軸交于C點(diǎn),直線l是圓的切線,交拋物線于M、N,并且切點(diǎn)在上,
(1)求A、B、C點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)當(dāng)M、N兩點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)距離和最大時(shí),求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:吉林省東北師大附中2009屆高三第三次摸底考試(數(shù)學(xué)理) 題型:044
已知拋物線x2=4y,過定點(diǎn)M0(0,m)(m>0)的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn).
(Ⅰ)分別過A、B作拋物線的兩條切線,A、B為切點(diǎn),求證:這兩條切線的交點(diǎn)P(x0,y0)在定直線y=-m上.
(Ⅱ)當(dāng)m>2時(shí),在拋物線上存在不同的兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線l對(duì)稱,弦長|PQ|中是否存在最大值?若存在,求其最大值(用m表示),若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年上海交大附中高三數(shù)學(xué)理總復(fù)習(xí)二圓錐曲線的綜合問題練習(xí)卷(解析版) 題型:選擇題
已知拋物線x2=4y上有一條長為6的動(dòng)弦AB,則AB的中點(diǎn)到x軸的最短距離為( )
A. B.
C.1 D.2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F,A、B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn),且=λ(λ>0).過A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線,設(shè)其交點(diǎn)為M.
(Ⅰ)證明·為定值;(Ⅱ)設(shè)△ABM的面積為S,寫出S=f(λ)的表達(dá)式,并求S的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F,A、B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn),且=λ(λ>0).過A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線,設(shè)其交點(diǎn)為M.
(Ⅰ)證明·為定值;(Ⅱ)設(shè)△ABM的面積為S,寫出S=f(λ)的表達(dá)式,并求S的最小值.
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