Question

已知函數(shù)f(x)=sin(

π

2

x-

π

6

)-2cos2

π

4

x+1，函數(shù)g（x）與函數(shù)f（x）圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．
（Ⅰ）當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，求g（x）的值域及單調(diào)遞減區(qū)間
（Ⅱ）若g(x0-1)=

3

3

，x0∈(-

5

3

，-

2

3

)求sinπx₀值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩角和與差的正弦及二倍角的余弦可將f（x）化簡(jiǎn)為f（x）=

3

sin（

π

2

x-

π

3

），利用又g（x）與f（x）圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可求得g（x）=-

3

sin（

π

2

x+

π

3

），從而利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與定義域、值域可求得當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，求g（x）的值域及單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）依題意，可求得cos（

π

2

x₀+

π

3

）=

1

3

，利用二倍角的可得cos（πx₀+

2π

3

）=-

7

9

，進(jìn)一步可求得πx₀+

2π

3

∈（-π，0），sin（πx₀+

2π

3

）=-

4 2

9

，于是可求sinπx₀值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin（

π

2

x-

π

6

）-2cos2

π

4

+1
=sin

π

2

x•

3

2

-cos

π

2

x•

1

2

-2•

1+cos π 2 x

2

+1
=

3

2

sin

π

2

x-

3

2

cos

π

2

x
=

3

（

1

2

sin

π

2

x-

3

2

cos

π

2

x）
=

3

sin（

π

2

x-

π

3

），
又g（x）與f（x）圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
得g（x）=f（-x）=

3

sin（-

π

2

x-

π

3

）=-

3

sin（

π

2

x+

π

3

），
當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，得

π

2

x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
得sin（

π

2

x+

π

3

）∈[-

3

2

，1]，
即g（x）∈[-

3

，

3

2

]，
g（x）單調(diào)遞減區(qū)間滿足2kπ-

π

2

≤

π

2

x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得4k-

5

3

≤x≤4k+

1

3

，k∈Z，
取k=0，得-

5

3

≤x≤

1

3

，又x∈[0，2]，g（x）單調(diào)遞減區(qū)間為[0，

1

3

]．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x₀-1）=-

3

sin[

π

2

（x₀-1）+

π

3

]
=

3

sin[

π

2

-（

π

2

x₀+

π

3

）]
=

3

cos（

π

2

x₀+

π

3

）
=

3

3

，
得cos（

π

2

x₀+

π

3

）=

1

3

，
由于cos（πx₀+

2π

3

）=2cos2(

π

2

x0+

π

3

)-1=

2

9

-1=-

7

9

，
而x₀∈（-

5

3

，-

2

3

），
∴πx₀+

2π

3

∈（-π，0），
∴sin（πx₀+

2π

3

）=-

1-cos2( π 2 x0+ π 3 )

=-

4 2

9

，
sin（πx₀）=sin[（πx₀+

2π

3

）-

2π

3

]
=sin（πx₀+

2π

3

）cos

2π

3

-cos（πx₀+

2π

3

）sin

2π

3

=-

4 2

9

（-

1

2

）-（-

7

9

）×

3

2

=

4 2 +7 3

18

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的正弦及二倍角的余弦，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，突出考查三角函數(shù)性質(zhì)與運(yùn)算的綜合應(yīng)用，屬于難題．