給定平面上的點(diǎn)集P={P1，P2，…，P1994}，P中任三點(diǎn)均不共線，將P中的所有的點(diǎn)任意分成83組，使得每組至少有3個(gè)點(diǎn)，且每點(diǎn)恰好屬于一組，然后將在同一組的任兩點(diǎn)用一條線段相連，不在同一組的兩點(diǎn)不連線段，這樣得到一個(gè)圖案G，不同的分組方式得到不同的圖案，將圖案G中所含的以P中的點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形個(gè)數(shù)記為m（G）．
（1）求m（G）的最小值m0．
（2）設(shè)G*是使m（G*）=m0的一個(gè)圖案，若G*中的線段（指以P的點(diǎn)為端點(diǎn)的線段）用4種顏色染色，每條線段恰好染一種顏色．證明存在一個(gè)染色方案，使G*染色后不含以P的點(diǎn)為頂點(diǎn)的三邊顏色相同的三角形．
分析：（1）設(shè)G中分成的83個(gè)子集的元素個(gè)數(shù)分別為ni（1≤i≤83），
83
i=1
n1=1994，則m（G）=
83
i=1
C
3
n
．可證只有當(dāng)各ni的值相差不超過(guò)1時(shí)，m（G）才能取得最小值，從而可得當(dāng)81組中有24個(gè)點(diǎn)，2組中有25個(gè)點(diǎn)時(shí)，m（G）達(dá)到最小值；
（2）取5個(gè)點(diǎn)為一小組，按圖1染成a、b二色；如圖2，每個(gè)小圓表示一個(gè)五點(diǎn)小組．同組間染色如圖1，不同組的點(diǎn)間的連線按圖2染成c、d兩色，由此可得結(jié)論．
解答：解：（1）設(shè)G中分成的83個(gè)子集的元素個(gè)數(shù)分別為ni（1≤i≤83），
83
i=1
n1=1994．且3≤n1≤n2≤…≤n83．
則m（G）=
83
i=1
C
3
n
．即求此式的最小值．
設(shè)nk+1＞nk+1，即nk+1-1≥nk+1，則
C
3
ni+1
+
C
3
ni-1
-（
C
3
ni
+
C
3
ni+1
）=
C
2
ni
-
C
2
ni+1
＜0．
這就是說(shuō)，當(dāng)nk+1與nk的差大于1時(shí)，
可用nk+1-1及nk+1代替nk+1及nk，而其余的數(shù)不變．此時(shí)，m（G）的值變小．
于是可知，只有當(dāng)各ni的值相差不超過(guò)1時(shí)，m（G）才能取得最小值．
∵1994=83×24+2，∴當(dāng)81組中有24個(gè)點(diǎn)，2組中有25個(gè)點(diǎn)時(shí)，m（G）達(dá)到最小值．
∴m0=81
C
3
24
+2
C
3
25
=81×2024+2×2300=168544．
（2）取5個(gè)點(diǎn)為一小組，按圖1染成a、b二色，共五個(gè)小組；如圖2，每個(gè)小圓表示一個(gè)五點(diǎn)小組．
同組間染色如圖1，不同組的點(diǎn)間的連線按圖2染成c、d兩色．
這25個(gè)點(diǎn)為一組，共得83組，染色法相同．
其中81組去掉1個(gè)點(diǎn)及與此點(diǎn)相連的所有線，即得一種滿(mǎn)足要求的染色
即存在一個(gè)染色方案，使G*染色后不含以P的點(diǎn)為頂點(diǎn)的三邊顏色相同的三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查組合知識(shí)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，難度大．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xoy上，給定拋物線L：y=
1
4
x2．實(shí)數(shù)p，q滿(mǎn)足p2-4q≥0，x1，x2是方程x2-px+q=0的兩根，記φ（p，q）=max{|x1|，|x2|}．
（1）過(guò)點(diǎn)，A（p0，
1
4
p02）（p0≠0），作L的切線交y軸于點(diǎn)B．證明：對(duì)線段AB上的任一點(diǎn)Q（p，q），有φ（p，q）=
|p0|
2
；
（2）設(shè)M（a，b）是定點(diǎn)，其中a，b滿(mǎn)足a2-4b＞0，a≠0．過(guò)M（a，b）作L的兩條切線l1，l2，切點(diǎn)分別為E（p1，
1
4
p
2
1
），E′（p2，
1
4
p22），l1，l2與y軸分別交于F，F(xiàn)′．線段EF上異于兩端點(diǎn)的點(diǎn)集記為X．證明：M（a，b）∈X?|P1|＜|P2|?φ（a，b）=
|p1|
2
．
（3）設(shè)D={ （x，y）|y≤x-1，y≥
1
4
（x+1）2-
5
4
}．當(dāng)點(diǎn)（p，q）取遍D時(shí)，求φ（p，q）的最小值 （記為φmin）和最大值（記為φmax）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：廣東省高考真題 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy上，給定拋物線L：y=x2，實(shí)數(shù)p，q滿(mǎn)足p2-4q≥0，x1，x2是方程x2-px+q=0的兩根，記φ（p，q）=max{|x1|，|x2|}.
（1）過(guò)點(diǎn)A（p0，p0）（p0≠0）作L的切線教y軸于點(diǎn)B。證明：對(duì)線段AB上任一點(diǎn)Q（p，q）有φ（p，q）=；
（2）設(shè)M（a，b）是定點(diǎn)，其中a，b滿(mǎn)足a2-4b>0，a≠0。過(guò)M（a，b）作L的兩條切線l1，l2，切點(diǎn)分別為E（p1，p12），E′（p2，p22），l1，l2與y軸分別交與F，F(xiàn)'。線段EF上異于兩端點(diǎn)的點(diǎn)集記為X。證明：M（a，b）∈X|P1|＞|P2|φ（a，b）=；
（3）設(shè)D={（x，y）|y≤x-1，y≥（x+1）2-}，當(dāng)點(diǎn)（p，q）取遍D時(shí)，求φ（p，q）的最小值 （記為φmin）和最大值（記為φmax）。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（本小題滿(mǎn)分14分）

       在平面直角坐標(biāo)系xOy上，給定拋物線L:．實(shí)數(shù)p，q滿(mǎn)足，x1，x2是方程的兩根，記。

（1）過(guò)點(diǎn)作L的切線教y軸于點(diǎn)       B．證明：對(duì)線段AB上任一點(diǎn)Q（p，q）有

（2）設(shè)M（a，b）是定點(diǎn)，其中a，b滿(mǎn)足a2-4b>0,a≠0．過(guò)M（a，b）作L的兩條切線，切點(diǎn)分別為，與y軸分別交與F,F'。線段EF上異于兩端點(diǎn)的點(diǎn)集記為X．證明：M（a,b） X;

（3）設(shè)D={ （x,y）|y≤x-1,y≥（x+1）2-}．當(dāng)點(diǎn)（p,q）取遍D時(shí)，求的最小值 （記為）和最大值（記為）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013年全國(guó)高校自主招生數(shù)學(xué)模擬試卷（十七）（解析版） 題型：解答題

給定平面上的點(diǎn)集P={P1，P2，…，P1994}，P中任三點(diǎn)均不共線，將P中的所有的點(diǎn)任意分成83組，使得每組至少有3個(gè)點(diǎn)，且每點(diǎn)恰好屬于一組，然后將在同一組的任兩點(diǎn)用一條線段相連，不在同一組的兩點(diǎn)不連線段，這樣得到一個(gè)圖案G，不同的分組方式得到不同的圖案，將圖案G中所含的以P中的點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形個(gè)數(shù)記為m（G）．
（1）求m（G）的最小值m．
（2）設(shè)G*是使m（G*）=m的一個(gè)圖案，若G*中的線段（指以P的點(diǎn)為端點(diǎn)的線段）用4種顏色染色，每條線段恰好染一種顏色．證明存在一個(gè)染色方案，使G*染色后不含以P的點(diǎn)為頂點(diǎn)的三邊顏色相同的三角形．

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