Question

四位同學(xué)在研究函數(shù)f（x）=

x

1+|x|

（x∈R）時(shí)，分別給出下面四個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）；
②若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；
③f（x）是連續(xù)且遞增的函數(shù)，但f（0）不存在；
④若規(guī)定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，則f_n（x）=

x

1+n|x|

對(duì)任意n∈N^*恒成立，
上述四個(gè)結(jié)論中正確的是

①②④

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及遞推關(guān)系對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可．

解答：解：①當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=

x

1+x

=

1+x-1

1+x

=1-

1

1+x

，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，所以0＜1-

1

1+x

＜1，即0＜y＜1．
當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)=

x

1-x

=

(x-1)+1

1-x

=-1+

1

1-x

=-1-

1

x-1

，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，所以-1＜-1+

1

1-x

＜0，即-1＜y＜0．
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0．
綜上-1＜f（x）＜1，即函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）．所以①正確．
②由①知函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，所以當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，則一定有f（x₁）≠f（x₂），所以②正確．
③當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0，所以③錯(cuò)誤．
④f₁（x）=f（x）=

x

1+|x|

，f₂（x）=f[f₁（x）]=

x

1+2|x|

，同理可求，f₃（x）=

x

1+3|x|

，由歸納推理可得f_n（x）=

x

1+n|x|

對(duì)任意n∈N^*恒成立，
所以④正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查函數(shù)f（x）=

x

1+|x|

的性質(zhì)，考查分析問題與解決問題的能力．