Question

已知函數(shù)（常數(shù)a∈R⁺）
（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）試研究函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并利用單調(diào)性的定義給出證明．

Answer 1

解：（1）定義域?yàn)椋海?∞，0）∪（0，+∞）
∵，
∴f（x）是偶函數(shù)．
（2）f（x）=（a∈R⁺）
1⁰若或，則f（x）=，設(shè)
由≤x₁＜x₂?x₁²x₂²≥a²?≤且x₂²-x₁²＞0，
當(dāng)?a 時(shí)，f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在上是增函數(shù)；
又f（x）是偶函數(shù)，f（x）在上是減函數(shù)．
當(dāng)時(shí)，時(shí)，
，1≤x₁＜x₂時(shí)，
．
∴f（x）在上是減函數(shù)，
在[1，+∞）上是增函數(shù)；
又f（x）是偶函數(shù)，在上是增函數(shù)，
在（-∞，-1]上是減函數(shù)．
2⁰若，則f（x）=，
設(shè)，同理∴f（x）在上是減函數(shù)，
又f（x）是偶函數(shù)，于是f（x）在上是增函數(shù)．
由1⁰2⁰知：當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f（x）在（0，1]上是減函數(shù)，
在[1，+∞）上是增函數(shù)，在（-∞，-1]上是減函數(shù)，在[-1，0）上是增函數(shù)；
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，
在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．
分析：（Ⅰ）首先要考慮函數(shù)的定義域，然后利用函數(shù)奇偶性的定義即可獲得問(wèn)題的解答；
（Ⅱ）首先將絕對(duì)值函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后分類(lèi)討論不同段上的函數(shù)單調(diào)性即可，討論時(shí)用定義法即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是函數(shù)奇偶性與單調(diào)性判斷與證明的問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義、分類(lèi)討論的思想以及問(wèn)題轉(zhuǎn)化的能力．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．