Question

【題目】已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．

（1）求的最值；

（2）若對恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）最小值為，無最大值（2）

【解析】

（1）本題首先可求出以及，然后繪出函數(shù)、以及的圖像，結(jié)合圖像即可得出結(jié)果；

（2）本題首先可判斷出函數(shù)是增函數(shù)和奇函數(shù)，然后根據(jù)增函數(shù)和奇函數(shù)的性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為，最后令，通過求解函數(shù)的最值即可得出結(jié)果.

（1）因?yàn)楹瘮?shù)，

所以，，

如圖，分別繪出函數(shù)、以及的圖像，

結(jié)合函數(shù)圖像，易知：

當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)是增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)是減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)取最小值，，

故有最小值，最小值為，無最大值，

（2）因?yàn)?/span>，

所以函數(shù)是奇函數(shù)，

因?yàn)橛桑?/span>1）可知，，

所以函數(shù)是增函數(shù)，

故，即，，

化簡得，

因?yàn)?/span>對恒成立，

所以恒成立，

令，則，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)取最大值，，

因?yàn)?/span>恒成立，所以的取值范圍為.