Question

【題目】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，點D是BC的中點；
（I）求異面直線A1B，AC1所成角的余弦值；
（II）求直線AB1與平面C1AD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（I）以 ， ， 為x，y，z軸建立空間直角坐標系A(chǔ)﹣xyz，則可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0），
∴ =（2，0，﹣4）， =（0，2，4），
∴cos＜ ， ＞= =-
∴異面直線A1B，AC1所成角的余弦值為： ；
（II）由（I）知， =（2，0，﹣4）， =（1，1，0），
設(shè)平面C1AD的法向量為 =（x，y，z），
則可得 ，即 ，取x=1可得 =（1，﹣1， ），
設(shè)直線AB1與平面C1AD所成的角為θ，則sinθ=|cos＜ ， ＞|=
∴直線AB1與平面C1AD所成角的正弦值為：
【解析】（Ⅰ）以 ， ， 為x，y，z軸建立空間直角坐標系A(chǔ)﹣xyz，可得 和 的坐標，可得cos＜ ， ＞，可得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）知， =（2，0，﹣4）， =（1，1，0），設(shè)平面C1AD的法向量為 =（x，y，z），由 可得 =（1，﹣1， ），設(shè)直線AB1與平面C1AD所成的角為θ，則sinθ=|cos＜ ， ＞|= ，進而可得答案．
【考點精析】本題主要考查了異面直線及其所成的角和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識點，需要掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．