Question

（2013•徐匯區(qū)一模）函數(shù)f(x)=

ax2-1

x

在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

A．a(chǎn)≥0

B．a(chǎn)＞0

C．a(chǎn)≤0

D．a(chǎn)＜0

Answer 1

分析：先求函數(shù)f(x)=

ax2-1

x

的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的增區(qū)間上導(dǎo)數(shù)大于0，可知，若函數(shù)f(x)=

ax2-1

x

在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，則x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0恒成立，再通過分類討論a為何值時(shí)f′（x）＞0恒成立即可求出a的范圍．

解答：解：f′（x）=

2ax2-ax2+1

x2

=

ax2+1

x2

，
∵函數(shù)f(x)=

ax2-1

x

在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0恒成立．
即當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，ax²+1＞0恒成立，
當(dāng)a＞0時(shí)，y=ax²+1的圖象為開口向上，最低點(diǎn)為（0，1）的拋物線，∴當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，ax²+1＞0恒成立．
當(dāng)a=0時(shí)，1＞0恒成立．
當(dāng)a＜0時(shí)，y=ax²+1的圖象為開口向下，最高點(diǎn)為（0，1）的拋物線，∴當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，ax²+1＞0不恒成立．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥0，
故選A

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，在函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間上導(dǎo)數(shù)大于0恒成立．