已知:兩條異面直線a、b所成的角為θ,它們的公垂線段AA1的長度為d.在直線a、b上分別取點E、F,設(shè)A1E=m,AF=n.求證:EF=.
證明見解析
本小題考查空間圖形的線面關(guān)系,空間想象能力和邏輯思維能力.
解法一:設(shè)經(jīng)過b與a平行的平面為α,經(jīng)過a和AA1的平面為β,α∩β=c,則 c∥a.因而b,c所成的角等于θ,且AA1⊥c.
∵ AA1⊥b, ∴ AA1⊥α.
根據(jù)兩個平面垂直的判定定理,β⊥α.
在平面β內(nèi)作EG⊥c,垂足為G,則EG=AA1.并且根據(jù)兩個平面垂直的性質(zhì)定理,EG⊥α.連結(jié)FG,則EG⊥FG.在Rt△EFG中,EF2=EG2+FG2.
∵ AG=m,
∴ 在△AFG中,FG2=m2+n2-2mncosθ.
∵ EG2=d2,∴ EF2=d2+m2+n2-2mncosθ.
如果點F(或E)在點A(或A1)的另一側(cè),則
EF2=d2+m2+n2+2mncosθ.
因此,EF=
解法二:經(jīng)過點A作直線c∥a,則c、b所成的角等于θ,且AA1⊥c.
根據(jù)直線和平面垂直的判定定理,AA1垂直于b、c所確定的平面a.
在兩平行直線a、c所確定的平面內(nèi),作EG⊥c,垂足為G,則EG平行且等于AA1,
從而EG⊥α.連結(jié)FG,則根據(jù)直線和平面垂直的定義,EG⊥FG.
在Rt△EFG中,EF2=EG2+FG2.
(以下同解法一)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
d2+m2+n2±2mncosθ |
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已知:兩條異面直線a,b所成的角為,直線c與a,b所成的角都是θ,則θ的取值范圍是
[ ]
A.[,]
B.[,]
C.[,]
D.[,]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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