Question

如圖，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面為正方形的長方體，∠AD₁A₁=60°，AD₁=4，P為AD₁的中點，（1）求證：直線C₁P∥平面AB₁C；（2）求異面直線AA₁與B₁P所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）求證：直線C₁P∥平面AB₁C，取B₁C中點Q，連接AQ，只需證明PC₁∥AQ即可；
（2）求異面直線AA₁與B₁P所成角的余弦值，法一：作出異面直線所成的角，直接解三角形即可；法二：利用空間直角坐標系，求出相關(guān)向量，求數(shù)量積即可．

解答：解：（1）證明：取B₁C中點Q，連接AQ，QC₁，
則QC₁∥AP且QC₁=AP，所以四邊形APC₁Q是平行四邊形，所以PC₁∥AQ，
又AQ?平面AB₁C，C₁P?平面AB₁C，所以直線C₁P∥平面AB₁C
（2）解法一：過點P作PE⊥A₁D₁，垂足為E，連接B₁E（如圖），
則PE∥AA₁，∴∠B₁PE是異面直線AA₁與B₁P所成的角．
在 Rt△AA₁D₁中∵∠AD₁A₁=60°
∴∠A₁AD₁=30°
∴A1B1=A1D1=

1

2

AD1=2，A1E=

1

2

A1D1=1，
∴B1E=

B1A12+A1E2

=

5

．
又PE=

1

2

AA1=

3

．
∴在 Rt△B₁PE中，B1P=

5+3

=2

2

cos∠B1PE=

PE

B1P

=

3

2 2

=

6

4

．
∴異面異面直線AA₁與B₁P所成角的余弦值為

6

4

．

解法二：以A₁為原點，A₁B₁所在的直線為x軸建立空間直角坐標系如圖示，
則A₁（0，0，0），A(0，0，2

3

)，B₁（2，0，0），P(0，1，

3

)，
∴

A1A

=(0，0，2

3

)，

B1P

=(-2，1，

3

)
∴cos＜

A1A

，

B1P

＞=

A1A • B1P

| A1A| •| B1P|

=

6

2 3 •2 2

=

6

4

．
∴異面異面直線AA₁與B₁P所成角的余弦值為

6

4

．

點評：本題考查直線與平面平行的判定，異面直線所成的角，考查學生邏輯思維能力，空間想象能力，是中檔題．