Question

已知函數(shù)f（x）=2x³-3x²-mx+n（m，n∈R），若函數(shù)在點（0，f（0））處的切線方程為y=-12x，
（1）求m，n的值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-a，a]（a＞0）上的最大值．

Answer 1

分析：（1）由f′（x）=6x²-6x-m，函數(shù)在點（0，f（0））處的切線方程為y=-12x，知

f(0)=0 f′(0)=-2

，由此能求出m，n的值．
（2）由（1）知f（x）=2x³-3x²-12x，f′（x）=6x²-6x-12=6（x+1）（x-2），由此能求出f（x）的極大值為f（-1）=7，由f（a）=f（-1）=7，得a=

7

2

，結合f（x）的圖象能求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-a，a]（a＞0）上的最大值．

解答：解：（1）由題意知，f′（x）=6x²-6x-m，（1分）
∵函數(shù)在點（0，f（0））處的切線方程為y=-12x，
∴

f(0)=0 f′(0)=-2

，（2分）
即

n=0 -m=-12

，得

m=12 n=0

，（3分）
（2）由（1）知f（x）=2x³-3x²-12x，
f′（x）=6x²-6x-12=6（x+1）（x-2），
由f'（x）＞0，得x＜-1或x＞2，
由f'（x）＜0，得-1＜x＜2，
∴f（x）在（-∞，-1）內單調遞增，在（-1，2）內單調遞減，在（2，+∞）內單調遞增，（5分）
∴f（x）的極大值為f（-1）=7，
由f（a）=f（-1）=7，
得2a³-3a²-12a=7，2a³-3a²-12a-7=0，
∴（a+1）（2a²-5a-7）=0，∵a＞0，
∴a=

7

2

，（7分）
結合f（x）的圖象可得：
①當0＜a≤1時，f（x）在區(qū)間[-a，a]上的最大值為f（-a）=-2a³-3a²+12a，
②當1＜a＜

7

2

時，f（x）在區(qū)間[-a，a]上的最大值為f（-1）=7，
③當a≥

7

2

時，f（x）在區(qū)間[-a，a]上的最大值為f（a）=2a³-3a²-12a．（10分）

點評：本題考查函數(shù)最大值的求法，綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學思維能力要求較高．解題時要認真審題，注意導數(shù)性質、等價轉化思想和分類討論思想的靈活運用．