【題目】已知圓C的方程為:x2+y2=4
(1)求過點P(2,1)且與圓C相切的直線l的方程;
(2)直線l過點D(1,2),且與圓C交于A、B兩點,若|AB|=2 ,求直線l的方程;
(3)圓C上有一動點M(x0 , y0), =(0,y0),若向量 = + ,求動點Q的軌跡方程.

【答案】
(1)解:當(dāng)k不存在時,x=2滿足題意;

當(dāng)k存在時,設(shè)切線方程為y﹣1=k(x﹣2),

=2得,k=﹣

則所求的切線方程為x=2或3x+4y﹣10=0


(2)解:當(dāng)直線l垂直于x軸時,此時直線方程為x=1,l與圓的兩個交點坐標(biāo)為(1, )和(1,﹣ ),這兩點的距離為2 ,滿足題意;

當(dāng)直線l不垂直于x軸時,設(shè)其方程為y﹣2=k(x﹣1),即kx﹣y﹣k+2=0,

設(shè)圓心到此直線的距離為d,

∴d= =1,即 =1,

解得:k=

此時直線方程為3x﹣4y+5=0,

綜上所述,所求直線方程為3x﹣4y+5=0或x=1


(3)解:設(shè)Q點的坐標(biāo)為(x,y),

∵M(jìn)(x0,y0), =(0,y0), = +

∴(x,y)=(x0,2y0),

∴x=x0,y=2y0,

∵x02+y02=4,

∴x2+( 2=4,即 + =1


【解析】(1)分兩種情況考慮:當(dāng)直線l的斜率不存在時,直線x=2滿足題意;當(dāng)k存在時,變形出l方程,利用圓心到l的距離d=r列出方程,求出方程的解得到k的值,確定出此時l方程,綜上,得到滿足題意直線l的方程;(2)分兩種情況考慮:當(dāng)直線l垂直于x軸時,此時直線方程為x=1,直線l與圓的兩個交點距離為2 ,滿足題意;
當(dāng)直線l不垂直于x軸時,設(shè)其方程為y﹣2=k(x﹣1),求出圓心到直線l的距離d=1,利用點到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程,求出方程的解得到k的值,確定出此時直線方程,綜上,得到滿足題意直線l的方程;(3)設(shè)Q(x,y),表示出 , ,代入已知等式中化簡得到x=x0 , y=2y0 , 代入圓方程變形即可得到Q軌跡方程.

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B.(0,
C.( ,
D.(

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