Question

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C₁的參數(shù)方程為

x=acosφ y=sinφ

(1＜a＜6，φ為參數(shù)）．在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C₂的極坐標(biāo)方程為P=6cosφ．射線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為θ=α，l與C₁的交點(diǎn)為A，l與C₂除極點(diǎn)外一個(gè)交點(diǎn)為B．當(dāng)α=0時(shí)，|AB|=4．
（Ⅰ）求C₁，C₂直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)C₁與y軸正半軸交點(diǎn)為D，當(dāng)α=

π

4

時(shí)，求直線(xiàn)BD的參數(shù)方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）曲線(xiàn)C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=6cosφ可化為ρ²=6ρcosφ，直角坐標(biāo)方程為x²+y²-6x=0．曲線(xiàn)C₁的直角坐標(biāo)方程為

x2

a2

+y2=1，當(dāng)α=0時(shí)，射線(xiàn)l與C₁，C₂交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為（a，0），（6，0），由|AB|=4，求得a=2，得出C₂直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得D（0，1），可求B（3，3），|DB|=

13

，

cosθ= 3 13 13 sinθ= 2 13 13

，直線(xiàn)BD的參數(shù)方程可求．

解答：解：（Ⅰ）曲線(xiàn)C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=6cosφ可化為ρ²=6ρcosφ，
直角坐標(biāo)方程為x²+y²-6x=0．
曲線(xiàn)C₁的參數(shù)方程為

x=acosφ y=sinφ

(1＜a＜6，φ為參數(shù)），易消去φ得
曲線(xiàn)C₁的直角坐標(biāo)方程為

x2

a2

+y2=1，
當(dāng)α=0時(shí)，射線(xiàn)l與C₁，C₂交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為（a，0），（6，0），
∵|AB|=4，∴a=2．
∴C₂直角坐標(biāo)方程

x2

4

+y2=1
（Ⅱ）當(dāng)α=

π

4

時(shí)，由

x2+ y2-6x=0 y=x

得B（3，3）或B（0，0），又B不為極點(diǎn)，∴B（3，3），由（Ⅰ）得D（0，1）
直線(xiàn)BD的參數(shù)方程為

x=tcosθ y=1+tsinθ

（t為參數(shù)），因?yàn)榻?jīng)過(guò)B（3，3），∴|DB|=

13

，∴

cosθ= 3 13 13 sinθ= 2 13 13

∴直線(xiàn)BD的參數(shù)方程為

x= 3 13 13 t y=1+ 2 13 13 t

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程之間的互化、應(yīng)用．考查了直線(xiàn)、圓、橢圓的基本知識(shí)．