Question

定義域為的函數(shù)f（x）=2^x-2^-x，g（x）=2^x+2^-x
（1）請分別指出函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=g（x）的奇偶性、單調(diào)區(qū)間、值域和零點；（將結(jié)論填入答題卡，不必證）
（2）設(shè)h(x)=

f(x)

g(x)

，請判斷函數(shù)y=h（x）的奇偶性、單調(diào)區(qū)間，并證明你的結(jié)論．（必要時，可以（1）中的結(jié)論作為推理與證明的依據(jù)）

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)的解析式，直接可以判斷奇偶性、單調(diào)區(qū)間、值域和零點；
（2）先化簡函數(shù)，可得結(jié)論，再證明結(jié)論成立即可．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=2^x-2^-x為奇函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，值域為R，零點為0；函數(shù)g（x）=2^x+2^-x為偶函數(shù)，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，在（-∞，0）上單調(diào)遞減，值域為[2，+∞），無零點；
（2）h(x)=

f(x)

g(x)

=

2x-2-x

2x+2-x

=

22x-1

22x+1

函數(shù)為奇函數(shù)，在R為增函數(shù)．證明如下：
h(x)=

f(x)

g(x)

的定義域為R，則h（-x）=

2-2x-1

2-2x+1

=

1-22x

1+22x

=-h（x），∴函數(shù)為奇函數(shù)，
∵h（x）=

22x-1

22x+1

=1-

2

22x+1

，∴h′（x）=

22x+1ln4

(22x+1)2

＞0，∴函數(shù)在R為增函數(shù)．

點評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．