已知函數(shù)f(x)對一切x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y).

(1)求證：f(x)在R上滿足f(－x)=－f(x);?

(2)若x>0時，f(x)<0,判斷f(x)的單調性.??

解：(1)證明:令x=y=0,可得f(0)=0,?

令y=－x,可得f(x)+f(－x)=f(x－x)=f(0)=0,?

所以－f(x)=f(－x).?

(2)任取x1、x2∈R,且x1<x2,?

則f(x2)－f(x1)=f(x2)+f(－x1)=f(x2－x1),??

∵x2>x1,∴x2－x1>0.?

由條件知f(x2－x1)<0,?

∴f(x2)<f(x1).?

∴f(x)在R上是單調減函數(shù).?

點評:因等式f(x+y)=f(x)+f(y)對x、y∈R成立，利用賦特殊值法進行推證.?

對于抽象函數(shù)，都有其實際背景，如本題由f(a+b)=f(a)·f(b),可以聯(lián)想到就是后面即將學習的指數(shù)函數(shù)y=ax所具有的性質.


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•成都一模）已知函數(shù)f(x)=
3
inωxcosωx+1-sin2ωx的周期為2π，其中ω＞0．
（I）求ω的值及函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間；
（II）在△ABC中，設內角A、B、C所對邊的長分別為a、b，c若a=
3
，c=2，f（A）=
3
2
，求b的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•德州一模）已知函數(shù)f(x)=
3
sinxcosx-cos2x+
1
2
(x∈R)
（I）求函數(shù)f（x）的最小正周期及在區(qū)間[0，
π
2
]上的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，又f(
A
2
+
π
3
)=
4
5
，b=2，△ABC的面積等于3，求邊長a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•濰坊一模）已知函數(shù)f(x)=
3
sin
ωx+φ
2
cos
ωx+φ
2
+sin2
ωx+φ
2
(ω＞0，0＜φ＜
π
2
)．其圖象的兩個相鄰對稱中心的距離為
π
2
，且過點(
π
3
，1)．
（I）函數(shù)f（x）的達式；
（Ⅱ）在△ABC中．a、b、c分別是角A、B、C的對邊，a=
5
，S△ABC=2
5
，角C為銳角．且滿f(
C
2
-
π
12
)=
7
6
，求c的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•黑龍江一模）已知函數(shù)f(x)=
3
2
sinxcosx-
3
2
sin2x+
3
4
．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若f（A）=0，a=
3
，b=2，求△ABC的面積S．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•臺州一模）已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+
π
3
)-
3
sin2x+sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在面積為
3
的△ABC中，若角A為銳角，f（A）=0，求A所對的邊的取值范圍．

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