【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2-(a+2)x+lnx

(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;

(2)若對(duì)任意x1,x2∈(0,+∞),x1x2,有f(x1)+2x1f(x2)+2x2恒成立,求a的取值范圍.

【答案】(1) y=-2.

(2) [0,8].

【解析】分析:(1)求出導(dǎo)函數(shù),可得切線斜率,切線方程為,化簡(jiǎn)即可;

(2)若對(duì)任意x1x2(0,+∞),x1x2,有f(x1)+2x1f(x2)+2x2恒成立,說明函數(shù)上的增函數(shù),從而上恒成立,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得的范圍.

詳解: (1)a=1時(shí),f(x)=x2-3x+lnx,f(1)=-2,f ′(x)=2x-3+,

∴曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率kf ′(1)=0;

所以在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為 y=-2;

(2)g(x)=f(x)+2xax2ax+lnx,(x>0);由題意知g(x)(0,+∞)單調(diào)遞增,所以g′(x)=2axa≥0(0,+∞)上恒成立,即2ax2ax+1≥0(0,+∞)上恒成立;令h(x)=2ax2ax+1,(x>0);

則①若a=0,h(x)=1≥0恒成立;

②若a<0,二次函數(shù)h(x)≥0不恒成立,舍去;

③若a>0,二次函數(shù)h(x)≥0恒成立,只需滿足最小值h()≥0,即+1≥0,解得0<a≤8;

綜上,a的取值范圍是[0,8].

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某同學(xué)用五點(diǎn)法畫函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí),列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù),如下表:

1)請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整;函數(shù)的解析式為 (直接寫出結(jié)果即可);

2)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)作出一個(gè)周期的圖象;

3)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】近年空氣質(zhì)量逐步惡化,霧霾天氣現(xiàn)象增多,大氣污染危害加重.大氣污染可引起心悸、呼吸困難等心肺疾病.為了解某市心肺疾病是否與性別有關(guān),在某醫(yī)院隨機(jī)對(duì)心肺疾病入院的人進(jìn)行問卷調(diào)查,得到了如下的列聯(lián)表:

患心肺疾病

不患心肺疾病

合計(jì)

A

合計(jì)

B

(1)根據(jù)已知條件求出上面的列聯(lián)表中的A和B;用分層抽樣的方法在患心肺疾病的人群中抽人,其中男性抽多少人?

(2)為了研究心肺疾病是否與性別有關(guān),請(qǐng)計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量,并說明是否有的把握認(rèn)為心肺疾病與性別有關(guān)?

下面的臨界值表供參考:

參考公式: ,其中.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知拋物線的準(zhǔn)線方程為,點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),不過點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)

(1)如果直線過點(diǎn),求證: ;

(2)如果,證明直線必過一定點(diǎn),并求出該定點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+1|﹣|x|+a.
(1)若a=0,求不等式f(x)≥x的解集;
(2)若對(duì)任意x∈R,f(x)≥0恒成立,求a的范圍;
(3)若方程f(x)=x有三個(gè)不同的解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】現(xiàn)從某醫(yī)院中隨機(jī)抽取了7位醫(yī)護(hù)人員的關(guān)愛患者考核分?jǐn)?shù)(患者考核:10分制),用相關(guān)的特征量表示;醫(yī)護(hù)專業(yè)知識(shí)考核分?jǐn)?shù)(試卷考試:100分制),用相關(guān)的特征量表示,數(shù)據(jù)如下表:

特征量

1

2

3

4

5

6

7

98

88

96

91

90

92

96

9.9

8.6

9.5

9.0

9.1

9.2

9.8

(1)求關(guān)于的線性回歸方程(計(jì)算結(jié)果精確到0.01);

(2)利用(1)中的線性回歸方程,分析醫(yī)護(hù)專業(yè)考核分?jǐn)?shù)的變化對(duì)關(guān)愛患者考核分?jǐn)?shù)的影響,并估計(jì)某醫(yī)護(hù)人員的醫(yī)護(hù)專業(yè)知識(shí)考核分?jǐn)?shù)為95分時(shí),他的關(guān)愛患者考核分?jǐn)?shù)(精確到0.1)

附:回歸直線方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為

, .

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】函數(shù) ,其中

(1)試討論函數(shù) 的單調(diào)性;

(2)已知當(dāng) (其中 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí),在 上至少存在一點(diǎn) ,使 成立,求 的取值范圍;

(3)求證:當(dāng) 時(shí),對(duì)任意 ,,有

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)f(x)是周期為2的奇函數(shù),當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=2x(1﹣x),f(﹣ )=

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某企業(yè)招聘大學(xué)畢業(yè)生,經(jīng)過綜合測(cè)試,錄用了14名女生和6名男生,這20名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)?nèi)缜o葉圖所示(單位:分),記成績(jī)不小于80分者為等,小于80分者為等.

(1)求女生成績(jī)的中位數(shù)及男生成績(jī)的平均數(shù);

(2)如果用分層抽樣的方法從等和等中共抽取5人組成“創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)”,則從等和等中分別抽幾人?

(3)在(2)問的基礎(chǔ)上,現(xiàn)從該“創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)”中隨機(jī)抽取2人,求至少有1人是等的概率.

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