Question

(本小題滿分12分)直三棱柱ABC -A₁B₁C₁中，AB=5，AC=4，BC=3，AA₁=4，點(diǎn)D在AB上．

（Ⅰ）求證：AC⊥B₁C；

（Ⅱ）若D是AB中點(diǎn)，求證：AC₁∥平面B₁CD；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值．

 

 

 

Answer 1

【答案】

18.（Ⅰ）證明：在△ABC中，因?yàn)?nbsp; AB=5，AC=4，BC=3，

所以 AC²+ BC²= AB²，  所以  AC⊥BC．                      

因?yàn)?直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，所以 C C₁⊥AC．                  

因?yàn)?BC∩AC =C，所以 AC⊥平面B B₁C₁C．     

所以 AC⊥B₁C．          …………4分

（Ⅱ）證明：連結(jié)BC₁，交B₁C于E，連接DE．

因?yàn)?直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是AB中點(diǎn)，所以 側(cè)面B B₁C₁C為矩形，DE為△ABC₁的中位線，

所以 DE// AC₁．因?yàn)?DE平面B₁CD， AC₁平面B₁CD，所以 AC₁∥平面B₁CD．........8分

 

 

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知AC⊥BC，如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz．則B (3, 0, 0)，A (0, 4, 0)，A₁ (0, 4, 4)，B₁ (3, 0, 4)．

設(shè)D (a, b, 0)（，），

因?yàn)?點(diǎn)D在線段AB上，且，即．

所以，，，, ,．

平面BCD的法向量為． 設(shè)平面B₁ CD的法向量為，

由 ，， 得 ，

所以 ，，.所以  ．

所以二面角的余弦值為． ……………12分

【解析】略