Question

設(shè)函數(shù)
（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（II）若不等式（）在上恒成立，求的最大值.

Answer 1

（1）函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）的最大值為3.

試題分析：本題主要考查導數(shù)的運算、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值、恒成立問題等數(shù)學知識，考查綜合分析問題解決問題的能力和計算能力，考查函數(shù)思想和分類討論思想.第一問，首先求函數(shù)的定義域，利用為增函數(shù)，為減函數(shù)，通過求導，解不等式求出單調(diào)區(qū)間，注意單調(diào)區(qū)間必須在定義域內(nèi)；第二問，因為不等式恒成立，所以轉(zhuǎn)化表達式，此時就轉(zhuǎn)化成了求函數(shù)的最小值問題；法二，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為，即轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，通過分類討論思想求函數(shù)的最小值，只需最小值大于0即可.
試題解析：（I）函數(shù)的定義域為.
由，得；由，得
所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.           4分
（II）（解法一）由已知在上恒成立.
則,令
則，設(shè)
則，所以函數(shù)在單調(diào)遞增.         6分
而
由零點存在定理，存在，使得，即，
又函數(shù)在單調(diào)遞增，
所以當時，；當時，.
從而當時，；當時，
所以在上的最小值
因此在上恒成立等價于         10分
由，知,所以的最大值為3.      12分
解法二：由題意
在上恒成立，
設(shè) 
       6分
1.當時，則，∴單增，，即恒成立.   8分
2.當時，則在單減，單增，
∴最小值為，只需即可，即，    10分
設(shè) 
，單減，
則，，，
∴.       12分