Question

已知函數(shù)..
（1）設(shè)曲線處的切線為，點(diǎn)（1，0）到直線l的距離為，求a的值；
（2）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立，試確定的取值范圍；
（3）當(dāng)是否存在實(shí)數(shù)處的切線與y軸垂直？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

(1)或(2)(3)不存在

試題分析：
(1)該問切點(diǎn)橫坐標(biāo)已知,則利用切點(diǎn)在曲線上,帶入曲線即可得到切點(diǎn)的縱坐標(biāo),對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)并得到在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值即為切線的斜率,有切線的斜率,切線又過切點(diǎn),利用直線的點(diǎn)斜式即可求的切線的方程,利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合條件點(diǎn)到切線的距離為即可求的參數(shù)的值.
(2)該問為恒成立問題可以考慮分離參數(shù)法,即把參數(shù)a與x進(jìn)行分離得到,則,再利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間的最大值,即可求的a的取值范圍.
(3)根據(jù)切線的斜率即為曲線C在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值,即該問可以轉(zhuǎn)化為是否存在使得,令,則即存在使得,對(duì)再次求導(dǎo)進(jìn)行最值求解可得,所以不存在使得.
試題解析：
（1）,.
在處的切線斜率為，
∴切線的方程為，即.  2分
又點(diǎn)到切線的距離為,所以，
解之得，或    4分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043155642867.png" style="vertical-align:middle;" />恒成立，
若恒成立；
若恒成立，即，在上恒成立，
設(shè)則
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，，
所以的取值范圍為.    9分
（3）依題意,曲線的方程為,令
所以,
設(shè),則,當(dāng),
故在上單調(diào)增函數(shù),因此在上的最小值為
即
又時(shí),
所以
曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直等價(jià)于方程有實(shí)數(shù)解,但是,沒有實(shí)數(shù)解,故不存在實(shí)數(shù)使曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直.    14分