Question

在平面直角坐標系中，已知橢圓的焦點在軸上，離心率為，且經過點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2） 以橢圓的長軸為直徑作圓，設為圓上不在坐標軸上的任意一點，為軸上一點，過圓心作直線的垂線交橢圓右準線于點．問：直線能否與圓總相切，如果能，求出點的坐標；如果不能，說明理由．

 

Answer 1

(1) ；（2）能，點.

【解析】

試題分析：（1）求橢圓方程，一般要找到兩個條件，本題中有離心率為，即，另外橢圓過點，說明，這樣結論易求；（2）存在性命題，問題假設存在，設，再設，首先有，，，于是，寫出直線方程為，讓它與橢圓右準線相交，求得，與圓相切，則有，即，這是關于的恒等式，由此利用恒等式的知識可求得，說明存在，若求不出，說明假設錯誤，不存在.

（1）設橢圓方程為，因為經過點，所以，，

又因為，可令，所以，，即，

所以橢圓的標準方程為． 6分

（2）存在點 7分

設點，，因為在以橢圓的長軸為直徑作圓上，且不在坐標軸上的任意點，

所以 且，又因為，

由，所以，，所以直線的方程為， 10分

因為點在直線上，令，得，

即， 12分

所以，

又，與圓總相切，故，于是有，

，即恒成立，解之可得，

即存在這樣點，使得與圓總相切． 16分

考點：（1）橢圓的標準方程；（2）直線與橢圓、圓的綜合性問題.