Question

四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1．E為BC的中點．
（1）求異面直線NE與AM所成角的余弦值；
（2）在線段AN上是否存在點S，使得ES⊥平面AMN？
（3）若存在，求線段AS的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）以點D為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸，DM為z軸，建立空間坐標系，分別求出各點的坐標，進而求出直線NE與AM的方向向量，代入向量夾角公式，即可得到答案．；
（2）連接PB，交AN與S，連接SE，則易得S為PB的中點，又由E為BC的中點，由三角形中位線的性質(zhì)，結合ES⊥平面AMN，易得線段AN上存在一點S為AN的中點，滿足ES⊥平面AMN
（3）由（2）的結論，我們易求出S點的坐標，代入空間中兩點之間距離公式，即可得到答案．本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，異面直線及其所成的角，

解答：解：∵MD⊥平面ABCD，則MD⊥DA，MD⊥DC，
又∵底面ABCD為正方形，∴DA⊥DC，
故以點D為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸，DM為z軸，如圖建立空間直角坐標系．
則各點的坐標D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），E，（

1

2

，1，0），M（0，0，1），N（1，1，1），

（1）∴

NE

=（-

1

2

，0，-1），

AM

=（-1，0，1）
設異面直線NE與AM所成角為θ
則cosθ=|

NE • AM

| NE |•| AM |

|=

1 2

5 2 • 2

=

10

10

故異面直線NE與AM所成角的余弦值為

10

10

（2）由正方體的幾何特征，我們易得PC⊥平面AMN
連接PB，交AN與S，連接SE，則易得S為PB的中點，又由E為BC的中點
則SE∥PC
∴ES⊥平面AMN
即線段AN上存在一點S為AN的中點，滿足ES⊥平面AMN
（3）由（2）得，S的坐標為（1，

1

2

，

1

2

）
則線段AS的長d=

1

2

AN=

2

2

點評：在判斷空間線面的關系，常常把他們放在空間幾何體中來直觀的分析，在判斷線與面的平行與垂直關系時，正方體是最常用的空間模型，大家一定要熟練掌握這種方法．另外熟練掌握線線、線面、面面平行（或垂直）的判定及性質(zhì)定理是解決此類問題的基礎．