Question

（本小題滿分13分）已知幾何體A—BCED的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．

（1）求此幾何體的體積V的大小;

（2）求異面直線DE與AB所成角的余弦值；

（3）試探究在DE上是否存在點(diǎn)Q，使得AQBQ并說明理由.

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

解析：（1）由該幾何體的三視圖知面,且EC=BC=AC=4 ，BD=1，

∴

∴．

即該幾何體的體積V為．    

（2）解法1:過點(diǎn)B作BF//ED交EC于F，連結(jié)AF，                                                    

則∠FBA或其補(bǔ)角即為異面直線DE與AB所成的角．

在△BAF中，∵AB=，BF=AF=．

∴．

即異面直線DE與AB所成的角的余弦值為．

解法2：以C為原點(diǎn)，以CA，CB，CE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

則A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）

∴，

∴ 

∴異面直線DE與AB所成的角的余弦值為．

 

 

（3）解法1:在DE上存在點(diǎn)Q，使得AQBQ.

取BC中點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OQ⊥DE于點(diǎn)Q，

則點(diǎn)Q滿足題設(shè).

連結(jié)EO、OD，在Rt△ECO和Rt△OBD中

∵    ∴∽    ∴

∵  ∴   ∴．

∵,

∴

∴以O(shè)為圓心、以BC為直徑的圓與DE相切．切點(diǎn)為Q     ∴

∵面,面  ∴ ∴面 

∵面ACQ www.7caiedu.cn    ．

解法2: 以C為原點(diǎn)，以CA，CB，CE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)滿足題設(shè)的點(diǎn)Q存在,其坐標(biāo)為（0，m，n），則

，

∵AQBQ    ∴ ----------------------------①

 ∵點(diǎn)Q在ED上，∴存在使得

∴-----------②

②代入①得，解得

∴滿足題設(shè)的點(diǎn)Q存在，其坐標(biāo)為

 

【解析】略