Question

設(shè)f（x）=x+

b

x+1

，x∈[0，+∞)．
（1）求當(dāng)b=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）當(dāng)0＜b＜1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）把b=2代入已，可得f（x）的解析式，由基本不等式可得；（2）求導(dǎo)數(shù)可得f/(x)=1-

b

(x+1)2

=

(x+1)2-b

(x+1)2

，可得f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，進(jìn)而可得答案．

解答：解：（1）把b=2代入f(x)=x+

b

x+1

中，
可得f(x)=x+

2

x+1

=x+1+

2

x+1

-1，
∵x∈[0，+∞），∴x+1＞0，

2

x+1

＞0．
由基本不等式可得f(x)≥2

2

-1，
當(dāng)且僅當(dāng)x+1=

2

x+1

，即x=

2

-1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，最小值為2

2

-1．…（6分）
（2）求導(dǎo)數(shù)可得f/(x)=1-

b

(x+1)2

=

(x+1)2-b

(x+1)2

，
由x≥0，可得（x+1）²≥1，
又0＜b＜1，可得f′（x）＞0
∴f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
f_min（x）=f（0）=b…（13分）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性和最值，涉及基本不不等式的應(yīng)用，屬中檔題．