【題目】已知橢圓C的中心在坐標原點,焦點在x軸上,左頂點為A,左焦點為F1(﹣2,0),點B(2, )在橢圓C上,直線y=kx(k≠0)與橢圓C交于E,F(xiàn)兩點,直線AE,AF分別與y軸交于點M,N
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)在x軸上是否存在點P,使得無論非零實數(shù)k怎樣變化,總有∠MPN為直角?若存在,求出點P的坐標,若不存在,請說明理由.
【答案】解:(Ⅰ)由題意可設(shè)橢圓方程為 + =1(a>b>0),
則c=2,a2﹣b2=c2, + =1,解得:a2=8,b2=4.
可得橢圓C的方程為 + =1;
(Ⅱ)如圖,設(shè)F(x0,y0),E(﹣x0,﹣y0),則 + =1,A(﹣2 ,0),
AF所在直線方程y= (x+2 ),
取x=0,得y= ,
∴N(0, ),
AE所在直線方程為y= (x+2 ),
取x=0,得y= .
則以MN為直徑的圓的圓心坐標為(0, ),
半徑r= ,
圓的方程為x2+(y﹣ )2= = ,即x2+(y+ )2= .
取y=0,得x=±2.
可得以MN為直徑的圓經(jīng)過定點(±2,0).
可得在x軸上存在點P(±2,0),
使得無論非零實數(shù)k怎樣變化,總有∠MPN為直角.
【解析】(1)根據(jù)焦點坐標得出c的值,再將B點的坐標代入橢圓方程,結(jié)合a2﹣b2=c2,即可解出a,b,c,從而得到橢圓方程,(2)設(shè)F(x0,y0),E(﹣x0,﹣y0),寫出AE、AF所在直線方程,求出M、N的坐標,得到以MN為直徑的圓的方程,由圓的方程可知以MN為直徑的圓經(jīng)過定點(±2,0),即可判斷存在點P.
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【題目】如圖,三棱錐P﹣ABC,側(cè)棱PA=2,底面三角形ABC為正三角形,邊長為2,頂點P在平面ABC上的射影為D,有AD⊥DB,且DB=1.
(Ⅰ)求證:AC∥平面PDB;
(Ⅱ)求二面角P﹣AB﹣C的余弦值;
(Ⅲ)線段PC上是否存在點E使得PC⊥平面ABE,如果存在,求 的值;如果不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,已知橢圓 與雙曲線 有相同的焦點,且橢圓 過點 ,若直線 與直線 平行且與橢圓 相交于點 ,B(x2,y2).
(Ⅰ) 求橢圓的標準方程;
(Ⅱ) 求三角形 面積的最大值.
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【題目】如圖,三棱錐P﹣ABC中,PA=PC,底面ABC為正三角形.
(Ⅰ)證明:AC⊥PB;
(Ⅱ)若平面PAC⊥平面ABC,AC=PC=2,求二面角A﹣PC﹣B的余弦值.
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【題目】拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,準線為L,A、B是拋物線上的兩個動點,且滿足∠AFB= .設(shè)線段AB的中點M在L上的投影為N,則 的最大值是( )
A.
B.1
C.
D.
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【題目】函數(shù)f(x)=2x2﹣mx+2當x∈[﹣2,+∞)時是增函數(shù),則m的取值范圍是( )
A.(﹣∞,+∞)
B.[8,+∞)
C.(﹣∞,﹣8]
D.(﹣∞,8]
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【題目】如果函數(shù)f(x)對任意的實數(shù)x,都有f(1+x)=f(﹣x),且當x≥ 時,f(x)=log2(3x﹣1),那么函數(shù)f(x)在[﹣2,0]上的最大值與最小值之和為 .
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知曲線 (a為參數(shù)),直線l:x﹣y﹣6=0.
(1)在曲線C上求一點P,使點P到直線l的距離最大,并求出此最大值;
(2)過點M(﹣1,0)且與直線l平行的直線l1交C于A,B兩點,求點M到A,B兩點的距離之積.
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【題目】已知向量 =(1,2), =(cosα,sinα),設(shè) = +t (t為實數(shù)).
(1)若 ,求當| |取最小值時實數(shù)t的值;
(2)若 ⊥ ,問:是否存在實數(shù)t,使得向量 ﹣ 和向量 的夾角為 ,若存在,請求出t;若不存在,請說明理由.
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