Question

為了了解某年級1000名學生的百米成績情況，隨機抽取了若干學生的百米成績，成績全部介于13秒與18秒之間，將成績按如下方式分成五組：第一組[13，14）；第二組[14，15）；…；第五組[17，18]．按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知圖中從左到右的前3個組的頻率之比為3：8：19，且第二組的頻數為8．
（1）請估計該年級學生中百米成績在[16，17）內的人數；
（2）求調查中共隨機抽取了多少個學生的百米成績；
（3）若從第一、五組中隨機取出兩個學生的成績，記為m，n，若m，n都在區(qū)間[13，14]上，則得4分，若m，n都在區(qū)間[17，18]上，則得2分，否則得0分，用X表示得分，求X的分布列并計算期望．

Answer 1

解：（1）由題意知，百米成績在[16，17]內的頻率為0.32×1=0.32，
0.32×1000=320，
∴估計該年級學生中百米成績在[16，17）內的人數為320人．
（2）設圖中從左到右前三組的頻率分別為3x，8x，19x，
依題意得3x+8x+19x+0.32×1+0.08×1=1，
解得x=0.02，
設調查中隨機抽取了n名學生的百米成績，
則8×0.02=，
∴n=50，
∴調查中共隨機抽取了50個學生的百米成績．
（3）成績在[13，14]內的有3人，成績在[17，18]內的有4人，X的取值可能為0，2，4，
P（X=0）==，
P（X=2）==，
P（X=4）==，
∴X的分布列為

X	0	2	4
P

∴EX=0×+2×+4×=．
分析：（1）由題意知，百米成績在[16，17]內的頻率為0.32×1=0.32，由此能估計該年級學生中百米成績在[16，17）內的人數．
（2）設圖中從左到右前三組的頻率分別為3x，8x，19x，依題意得3x+8x+19x+0.32×1+0.08×1=1，由此能求出調查中共隨機抽取了多少個學生的百米成績．
（3）成績在[13，14]內的有3人，成績在[17，18]內的有4人，X的取值可能為0，2，4，分別求出P（X=0），P（X=2），P（X=4），由此能求出X的分布列并計算期望．
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．解題時要認真審題，仔細解答，注意排列組合和概率知識的靈活運用．