Question

某飛船返回倉順利返回地球后，為了及時(shí)救出航天員，地面指揮中心在返回倉預(yù)計(jì)到達(dá)的區(qū)域內(nèi)安排了三個(gè)救援中心（如圖1分別記為A，B，C），B地在A地正東方向上，兩地相距6km； C地在B地北偏東30°方向上，兩地相距4km，假設(shè)P為航天員著陸點(diǎn)，某一時(shí)刻A救援中心接到從P點(diǎn)發(fā)出的求救信號(hào)，經(jīng)過4s后，B、C兩個(gè)救援中心也同時(shí)接收到這一信號(hào)，已知該信號(hào)的傳播速度為1km/s．
（I）求A、C兩上救援中心的距離；
（II）求P相對(duì)A的方向角；
（III）試分析信號(hào)分別從P點(diǎn)處和P點(diǎn)的正上方Q點(diǎn)（如圖2，返回倉經(jīng)Q點(diǎn)垂直落至P點(diǎn)）處發(fā)出時(shí)，A、B兩個(gè)救援中心收到信號(hào)的時(shí)間差的變化情況（變大還是變�。�，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則可表示A，B，C的坐標(biāo)，從而可求AC的距離；
（2）由題意，易判斷P在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線軛坐支上，從而可確定雙曲線的方程，再與BC的垂直平分線的方程聯(lián)立，可求P的坐標(biāo)，從而問題得解．

解答：解：（1）以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（-3，0），B（3，0），C(5，2

3

)，∴AC=2

19

km，即A\C兩個(gè)救援中心的距離為2

19

km
（2）∵PC=PB，∴P在BC線段的垂直平分線上；∵PB-PA=4，∴P在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線軛坐支上，且AB=6，∴雙曲線的方程為

x2

4

-

y2

5

=1(x＜0)，BC的垂直平分線的方程為x-

3

y-7=0，聯(lián)立兩方程解得x=-8，∴P(-8，5

3

)，kPA=tan∠PAB=-

3

，∴∠PAB=120°，∴P在A點(diǎn)的北偏西30⁰方向上．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用．解此類題的要點(diǎn)是建立適當(dāng)?shù)娜�角函�?shù)模型，利用三角函數(shù)的基本公式和定理進(jìn)行求解．