Question

（2013•上海）已知拋物線C：y²=4x 的焦點(diǎn)為F．
（1）點(diǎn)A，P滿足

AP

=-2

FA

．當(dāng)點(diǎn)A在拋物線C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在拋物線C上？如果存在，求所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P和A的坐標(biāo)，求出拋物線焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，由

AP

=-2

FA

得出P點(diǎn)和A點(diǎn)的關(guān)系，由代入法求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，在設(shè)出其關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q^′的坐標(biāo)，由斜率關(guān)系及中點(diǎn)在y=2x上得到兩對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，再由點(diǎn)Q^′在拋物線上，把其坐標(biāo)代入拋物線方程即可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x_A，y_A），則

AP

=(x-xA，y-yA)，
因?yàn)镕的坐標(biāo)為（1，0），所以

FA

=(xA-1，yA)，
由

AP

=-2

FA

，得（x-x_A，y-y_A）=-2（x_A-1，y_A）．
即

x-xA=-2(xA-1) y-yA=-2yA

，解得

xA=2-x yA=-y

代入y²=4x，得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y²=8-4x．
（2）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（t，0）．點(diǎn)Q關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q^′（x，y），
則

y x-t =- 1 2 y 2 =x+t

，解得

x=- 3 5 t y= 4 5 t

．
若Q^′在C上，將Q^′的坐標(biāo)代入y²=4x，得4t²+15t=0，即t=0或t=-

15

4

．
所以存在滿足題意的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為（0，0）和（-

15

4

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程，考查了直線和圓錐曲線間的關(guān)系，考查了代入法求曲線方程，考查了存在性問(wèn)題的求解方法，屬中檔題．