設(shè),分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，過作傾斜角為的直線交橢圓于,兩點(diǎn), 到直線的距離為,連結(jié)橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過橢圓的左頂點(diǎn)作直線交橢圓于另一點(diǎn), 若點(diǎn)是線段垂直平分線上的一點(diǎn),且滿足,求實(shí)數(shù)的值．

 

【答案】

（1）橢圓的方程為；（2）滿足條件的實(shí)數(shù)的值為或.

【解析】

試題分析：（1）利用橢圓的幾何性質(zhì)及到直線的距離為，建立的方程組即得；

（2）由（1）知:, 設(shè)

根據(jù)題意可知直線的斜率存在，可設(shè)直線斜率為,則直線的方程為

把它代入橢圓的方程,消去,整理得:

應(yīng)用韋達(dá)定理以便于確定線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為.

討論當(dāng)，的情況，確定的值.

試題解析：（1）設(shè),的坐標(biāo)分別為,其中

由題意得的方程為:

因到直線的距離為,所以有,解得 1分

所以有 ①

由題意知: ,即 ②

聯(lián)立①②解得:

所求橢圓的方程為 5分

（2）由（1）知:, 設(shè)

根據(jù)題意可知直線的斜率存在，可設(shè)直線斜率為,則直線的方程為

把它代入橢圓的方程,消去,整理得:

由韋達(dá)定理得,則,，

，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為 7分

(ⅰ)當(dāng)時(shí), 則有,線段垂直平分線為軸

于是

由,解得: 9分

（ii）因?yàn)辄c(diǎn)是線段垂直平分線的一點(diǎn),

令,得:，于是

由,解得:

代入,解得:

綜上, 滿足條件的實(shí)數(shù)的值為或 13分

考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，平面向量的數(shù)量積.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•徐州一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距為2，且過點(diǎn)(
2
，
6
2
)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若點(diǎn)A，B分別是橢圓E的左、右頂點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)B且垂直于x軸，點(diǎn)P是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線AP交l于點(diǎn)M．
（�。┰O(shè)直線OM的斜率為k1，直線BP的斜率為k2，求證：k1k2為定值；
（ⅱ）設(shè)過點(diǎn)M垂直于PB的直線為m．求證：直線m過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
1
2
，一條準(zhǔn)線方程為x=4．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)A，B分別是橢圓E的左、右頂點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)B且垂直于x軸，點(diǎn)P是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線AP交l于點(diǎn)M，設(shè)直線OM的斜率為k1，直線BP的斜率為k2，求證：k1k2為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P（-1，
3
2
）是橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是橢圓E的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，PF1⊥x軸．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓E上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
PA
+
PB
=λ
PO
（0＜λ＜4，且λ≠2）．求證：直線AB的斜率等于橢圓E的離心率；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)△PAB面積取得最大值時(shí)，求λ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P（-1，
3
2
）是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)F1、F2分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，PF1⊥x軸．
①求橢圓C的方程；
②設(shè)A、B是橢圓C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足：
PA
+
PB
=λ
PO
（0＜λ＜4，且λ≠2）求直線AB的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•安徽）設(shè)橢圓E：
x2
a2
+
y2
1-a2
=1的焦點(diǎn)在x軸上
（1）若橢圓E的焦距為1，求橢圓E的方程；
（2）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓E上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線F2P交y軸于點(diǎn)Q，并且F1P⊥F1Q，證明：當(dāng)a變化時(shí)，點(diǎn)P在某定直線上．

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