Question

已知（1+3x²）ⁿ的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和為A_n，二項(xiàng)式系數(shù)和為B_n，設(shè)A_n-B_n=992．
（1）求n的值；（2）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（3）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

解（1）令x=1，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為A_n=（1+3）ⁿ=2²ⁿ，…（2分）
二項(xiàng)式系數(shù)和為B_n=C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ=2ⁿ，…（4分）
則A_n-B_n=2²ⁿ-2ⁿ=992，解得n=5．…（6分）
（2）因?yàn)閚=5，展開式共6項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第三、四兩項(xiàng)，
所以T₃=C₅²（3x²）²=90x⁴，T₄=C₅³（3x²）³=270x⁶．…（10分）
（3）設(shè)展開式中第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，則T_r+1=C₅^r（3x²）^r=3^rC₅^rx^2r，
依題意，

3r C r5 ≥3r-1 C r-15 3r C r5 ≥3r+1 C r+15

，解得

7

2

≤r≤

9

2

，故r=4．…（13分）
即展開式中第5項(xiàng)系數(shù)最大，T₅=C₅⁴（3x²）⁴=405x⁸．…（14分）
解法二：（1+3x²）⁵=1+3C₅¹x²+9C₅²x⁴+27C₅³x⁶+81C₅⁴x⁸+243C₅⁵x¹⁰=1+15x²+90x⁴+270x⁶+405x⁸+243x¹⁰，
即展開式中第5項(xiàng)系數(shù)最大，T₅=405x⁸．…（14分）