Question

【題目】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2 ．
（Ⅰ）求cosB；
（Ⅱ）若a+c=6，△ABC面積為2，求b．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）sin（A+C）=8sin2 ，
∴sinB=4（1﹣cosB），
∵sin2B+cos2B=1，
∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，
∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，
∴cosB= ；
（Ⅱ）由（1）可知sinB= ，
∵S△ABC= acsinB=2，
∴ac= ，
∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2× ×
=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，
∴b=2．
【解析】（Ⅰ）利用三角形的內(nèi)角和定理可知A+C=π﹣B，再利用誘導(dǎo)公式化簡sin（A+C），利用降冪公式化簡8sin2 ，結(jié)合sin2B+cos2B=1，求出cosB，
（Ⅱ）由（1）可知sinB= ，利用勾面積公式求出ac，再利用余弦定理即可求出b．
【考點精析】利用二倍角的正弦公式和余弦定理的定義對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知二倍角的正弦公式：；余弦定理:;;．