Question

（2010•湖北模擬）若(1-

1

x2

)n(n∈N，n＞1)的展開(kāi)式中x^-4的系數(shù)為a_n，則

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=

2（1-

1

n

）

．

Answer 1

分析：在二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于-4，求出r的值，即可求得x^-4的系數(shù)為a_n的解析式，再用裂項(xiàng)法求出

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

的值．

解答：解：由于(1-

1

x2

)n(n∈N，n＞1)的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)_r+1=

C

r n

•（-1）^r•x^-2r，令-2r=-4，可得 r=2，
中x^-4的系數(shù)為a_n =(-1)2•

C

2 n

=

n(n-1)

2

，
∴

1

an

=

2

n(n-1)

=2[

1

n-1

-

1

n

]．
∴

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=2[1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

]=2（1-

1

n

），
故答案為 2（1-

1

n

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，用裂項(xiàng)法進(jìn)行數(shù)列求和，屬于中檔題．