Question

已知曲線C：xy=1，過(guò)C上一點(diǎn)A_n（x_n，y_n）作一斜率為k_n=的直線交曲線C于另一點(diǎn)A_n+1（x_n+1，y_n+1），點(diǎn)列{A_n}的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{x_n}，其中x₁=．
（I）求x_n與x_n+1的關(guān)系式；
（II）令b_n=+，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（III）若c_n=3ⁿ-λb_n（λ為非零整數(shù)，n∈N*），試確定λ的值，使得對(duì)任意n∈N*，都有c_n+1＞c_n成立．

Answer 1

（I）解：過(guò)C：xy=1上一點(diǎn)A_n（x_n，y_n）作斜率為k_n的直線交C于另一點(diǎn)A_n+1，則kn=-
∵k_n=，∴-=
∴x_nx_n+1=x_n+2
即：
（II）證明：∵b_n=+，∴b_n+1=+=+=-2（+），
∵x₁=，∴b₁=-2
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（III）解：由（II）知，，則c_n+1＞c_n成立等價(jià)于c_n+1-c_n=2×3ⁿ+3λ×（-2）ⁿ＞0恒成立
即恒成立
①n為奇數(shù)時(shí)，，∴，∴λ＜1；
②n為偶數(shù)時(shí)，，∴
∴
∵λ為非零整數(shù)
∴λ=-1．
∴λ=-1，對(duì)任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n成立．
分析：（I）由題意可得kn=-，利用k_n=，即可得到x_n與x_n+1的關(guān)系式；
（II）由b_n=+，可得b_n+1=-2（+），從而可得數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（III）c_n+1＞c_n成立等價(jià)于c_n+1-c_n=2×3ⁿ+3λ×（-2）ⁿ＞0恒成立，即恒成立，對(duì)n討論，即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的證明，考查恒成立問(wèn)題，正確求通項(xiàng)是關(guān)鍵．