Question

某廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本（即固定收入）為0.5萬(wàn)元，但每生產(chǎn)一臺(tái)，需要增加可變成本（即另增加收入）0.25萬(wàn)元．市場(chǎng)對(duì)此產(chǎn)品的年需求量為500臺(tái)，銷售的收入函數(shù)為R(x)=5x-

x2

2

（萬(wàn)元）（0≤x≤5）．其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量（單位：百臺(tái)）
（1）把利潤(rùn)表示為年產(chǎn)量的函數(shù)；
（2）年產(chǎn)量是多少時(shí)，工廠所得利潤(rùn)最大？

Answer 1

分析：（1）利潤(rùn)y是指生產(chǎn)數(shù)量x的產(chǎn)品售出后的總收入R（x）與其成本C（x）之差，由題意，當(dāng)x≤5時(shí)，產(chǎn)品能夠全部售出，當(dāng)x＞5時(shí)，只能銷售500臺(tái)，由此能把利潤(rùn)表示為年產(chǎn)量的函數(shù)．
（2）當(dāng)0≤x≤5時(shí)，y=-

1

2

x2 +4.75x-0.5，當(dāng)x=-

b

2a

=4.75（百臺(tái)）時(shí)，y_max=10.78125（萬(wàn)元）；當(dāng)x＞5（百臺(tái)）時(shí)，y＜12-0.25×5=10.75（萬(wàn)元）．由此能求出年產(chǎn)量是多少時(shí)，工廠所得利潤(rùn)最大．

解答：解：（1）利潤(rùn)y是指生產(chǎn)數(shù)量x的產(chǎn)品售出后的總收入R（x）與其成本C（x）之差，
由題意，當(dāng)x≤5時(shí)，產(chǎn)品能夠全部售出，當(dāng)x＞5時(shí)，只能銷售500臺(tái)，所以y=

5x- 1 2 x2-(0.5+0.25x)，0≤x≤5 5×5- 1 2 ×52-(0.5+0.25x)，x＞5

，
整理，得y=

- 1 2 x2+4.75x-0.5，0≤x≤5 12-0.25x，x＞5

，
（2）當(dāng)0≤x≤5時(shí)，
y=-

1

2

x2 +4.75x-0.5，
當(dāng)x=-

b

2a

=4.75（百臺(tái)）時(shí)，
y_max=10.78125（萬(wàn)元）；
當(dāng)x＞5（百臺(tái)）時(shí)，
y＜12-0.25×5=10.75（萬(wàn)元）．
綜上所述，當(dāng)生產(chǎn)475臺(tái)時(shí)，工廠所得利潤(rùn)最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在生產(chǎn)實(shí)際中的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，容易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二次函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．