Question

（2009•江西）各項均為正數的數列{a_n}，a₁=a，a₂=b，且對滿足m+n=p+q的正整數m，n，p，q都有

am+an

(1+am)(1+an)

=

ap+aq

(1+ap)(1+aq)

．
（1）當a=

1

2

，  b=

4

5

時，求通項a_n；
（2）證明：對任意a，存在與a有關的常數λ，使得對于每個正整數n，都有

1

λ

≤an≤λ．

Answer 1

分析：（1）由

am+an

(1+am)(1+an)

=

ap+aq

(1+ap)(1+aq)

，令m=1，p=2，q=n-1，并將a1=

1

2

，a2=

4

5

代入化簡，可得數列{

1-an

1+an

}是首項為

1

3

，公比為

1

3

的等比數列，從而可求數列的通項；
（2）記為b_m+n，則bn+1=

a1+an

(1+a1)(1+an)

=

a+an

(1+a)(1+an)

，考察函數 f(x)=

a+x

(1+a)(1+x)

  (x＞0)，則在定義域上有f(x)≥g(a)=

1 1+a ， a＞1 1 2 ， a=1 a 1+a ， 0＜a＜1

，從而對n∈N^*，b_n+1≥g（a）恒成立，結合b2n=

2an

(1+an)2

≥g(a)，即可得證．

解答：（1）解：由

am+an

(1+am)(1+an)

=

ap+aq

(1+ap)(1+aq)

得

a1+an

(1+a1)(1+an)

=

a2+an-1

(1+a2)(1+an-1)

．
將a1=

1

2

，a2=

4

5

代入化簡得an=

2an-1+1

an-1+2

．
所以

1-an

1+an

=

1

3

•

1-an-1

1+an-1

，
故數列{

1-an

1+an

}是首項為

1

3

，公比為

1

3

的等比數列，從而

1-an

1+an

=

1

3n

，即an=

3n-1

3n+1

．
（2）證明：由題設

am+an

(1+am)(1+an)

的值僅與m+n有關，記為b_m+n，則bn+1=

a1+an

(1+a1)(1+an)

=

a+an

(1+a)(1+an)

．
考察函數 f(x)=

a+x

(1+a)(1+x)

  (x＞0)，則在定義域上有f(x)≥g(a)=

1 1+a ， a＞1 1 2 ， a=1 a 1+a ， 0＜a＜1

故對n∈N^*，b_n+1≥g（a）恒成立
又 b2n=

2an

(1+an)2

≥g(a)，
注意到0＜g(a)≤

1

2

，解上式得

g(a)

1-g(a)+ 1-2g(a)

=

1-g(a)- 1-2g(a)

g(a)

≤an≤

1-g(a)+ 1-2g(a)

g(a)

，
取λ=

1-g(a)+ 1-2g(a)

g(a)

，即有

1

λ

≤an≤λ．

點評：本題考查數列遞推式，考查賦值法的運用，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，難度較大．