Question

已知點G是△ABC的重心，A（0，-1），B（0，1）.在x軸上有一點M，滿足||=||，=λ(λ∈R)（若△ABC的頂點坐標為?A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),C(x₃,y₃)，則該三角形的重心坐標為G(,)).

（1）求點C的軌跡E的方程；

（2）設（1）中曲線E的左、右焦點分別為F₁、F₂，過點F₂的直線l交曲線E于P、Q兩點，求△F₁PQ面積的最大值，并求出取最大值時直線l的方程.

Answer 1

解:（1）設C（x，y），則G(,).

∵=λ(λ∈R),∴GM∥AB.又M是x軸上一點，則M(,0),

又∵||=||,∴(=.整理得+y²=1(x≠0).

（2）由（1），知F₁(-,0),F₂(,0).

設直線l的方程為x=ty+,由（1），知x≠0,∴l(xiāng)不過點(0,±1).∴t≠±.

設P(x₁,y₁）,Q(x₂,y₂),將x=ty+代入x²+3y²=3,(t²+3)y²+2ty-1=0.∴Δ=8t²+4(t²+3)=12(t²+1)＞0恒成立.∴y₁+y₂=,y₁·y₂=.

∴|y₁-y₂|===.

∴=|F₁F₂|·|y₁-y₂|=|y₁-y₂|=2(t≠±).

∴=≤=.

當且僅當t₂+1=2，即t=±1時取“=”.

∴△F₁PQ的最大值為3,此時直線l的方程為x±y-2=0.