如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD是正方形，四個側(cè)面都是等邊三角形，AC與BD交于點O，E為側(cè)棱SC上的一點．
（1）若E為SC的中點，求證：SA∥平面BDE；
（2）求證：平面BDE⊥平面SAC；
（3）若正方形ABCD邊長為2，求四棱錐SABCD的體積．
分析：（1）利用線面平行的判定定理判斷．（2）利用面面垂直的判定定理證明．（3）利用錐體的體積公式求體積．
解答：解：（1）連結(jié)OE，因為E，O分別是SC，AC的中點，所以OE∥SA，
因為OE?面BDE，SA?面BDE，所以SA∥平面BDE；
（2）因為四棱錐SABCD中，四個側(cè)面都是等邊三角形，所以SA=SC，SD=SB，
所以SO⊥AC，S0⊥BD，
又底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
因為S0∩AC=O，
所以BD⊥平面SAC；
又BD?平面BDE，
所以平面BDE⊥平面SAC；
（3）由（2）知SO⊥AC，S0⊥BD，
所以SO⊥平面ABCD；即SO是四棱錐SABCD的高．
因為正方形ABCD邊長為2，所以SB=2，OC=
2
，
所以SO=
SB2-OC2
=
22-2
=
2
．
所以四棱錐SABCD的體積為
1
3
×22×
2
=
4
2
3
．
點評：本題主要考查空間直線和平面平行以及面面垂直的判定，要求熟練掌握相應的判定定理．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，且SD=AD=
2
AB，E是SA的中點．
（1）求證：平面BED⊥平面SAB；
（2）求直線SA與平面BED所成角的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，SA⊥CD，AB⊥平面SAD，點M是SC的中點，且SA=AB=BC=1，AD=
12
．
（1）求四棱錐S-ABCD的體積；
（2）求證：DM∥平面SAB；
（3）求直線SC和平面SAB所成的角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，側(cè)棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中點．
（Ⅰ）求證：AM∥面SCD；
（Ⅱ）求面SCD與面SAB所成二面角的余弦值；
（Ⅲ）設點N是直線CD上的動點，MN與面SAB所成的角為θ，求sinθ的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，∠BAD=∠ABC=90°，且AB=AD=1，
BC=3，SB與平面ABCD所成的角為45°，E為SD的中點．
（Ⅰ）若F為線段BC上的一點且BF=
1
6
BC，求證：EF∥平面SAB；
（Ⅱ）求點B到平面SDC的距離；
（Ⅲ）在線段 BC上是否存在一點G，使二面角G-SD-C的大小為arccos
6
3
？若存在，求出BG的長；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，SA⊥CD，AB⊥平面SAD，點M是SC的中點，且SA=AB=BC=1，AD=
12
．
（1）求四棱錐S-ABCD的體積；
（2）求證：DM∥平面SAB；
（3）求直線SC和平面SAB所成的角的正弦值．

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