Question

（2012•宣城模擬）如圖甲，四邊形ABCD是由兩個(gè)直角三角形拼成的平面圖形，△ABD是等腰直角三角形，∠ABD=90°，△CBD中∠C=90°，
∠DBC=30°，CD=1．現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起，使AB⊥平面BCD（如圖乙），連AC，作BE垂直AC于E，BF垂直AD于F．

（Ⅰ）求證：AD⊥平面BEF；
（Ⅱ）求BC與平面BEF所成角的余弦值；
（Ⅲ）在線段BD上是否存在一點(diǎn)M，使得CM∥平面BEF？若存在，求出

BM

BD

的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證AD⊥平面BEF，可通過(guò)證明BE⊥AD，BF⊥AD證得．BE⊥AD由BE⊥平面ADC來(lái)證得，在等腰直角三角形ABD，可知BF⊥AD．
（Ⅱ）在平面ADC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)C作CG平行于AD交FE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∠CBG為直線BC和平面BEF所成的角．在RT△BGC中求解即可．
（Ⅲ）過(guò)點(diǎn)C作CH∥EF交AD于點(diǎn)H，過(guò)H作HM∥FB交BD于點(diǎn)M，M即為所求的點(diǎn)．且比值為

3

4

．

解答：（Ⅰ）證明：因?yàn)锳B⊥平面BCD，所以AB⊥DC，又BC⊥DC，
所以DC⊥平面ABC，BE?平面ABC，則DC⊥BE，…（2分） 
 又BE⊥AC，所以BE⊥平面ADC，得BE⊥AD．
又△ABD是等腰直角三角形，∠ABD=90°，可知BF⊥AD．
BE∩BF=B，所以AD⊥平面BEF…（4分）
（Ⅱ）解：在平面ADC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)C作CG平行于AD交FE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，
連接BG，因?yàn)锳D⊥平面BEF，所以CG⊥平面BEF，
所以∠CBG為直線BC和平面BEF所成的角．…（6分）
由∠DBC=30°，CD=1，
在RT△ABC中，BC=

3

，AB=BD=2，AC=

7

 
由AB²=AE•AC得AE=

4 7

7

，CE=

3 7

7

，
又AF=

1

2

AD=

2

，由

CG

AF

=

CE

AE

得CG=

3 2

4

．
在RT△BGC中，sin∠CBG=

CG

BC

=

6

4

cos∠CBG=

10

4

，
所以直線BC與平面BEF所成角的余弦值為

10

4

．…（8分）
（Ⅲ））解：存在一點(diǎn)M，使得CM∥平面BEF．
過(guò)點(diǎn)C作CH∥EF交AD于點(diǎn)H，過(guò)H作HM∥FB交BD于點(diǎn)M，則平面CMH∥平面BEF，得CM∥平面BEF，點(diǎn)M即為所求的點(diǎn)…（10分）
又四邊形CHFG為矩形，所以HF=CG=

3 2

4

，
因?yàn)镠M∥FB，則

BM

BD

=

HF

DF

=

3

4

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查本題考查空間直線與直線、直線與平面位置關(guān)系的判斷，二面角大小求解，考查空間想象能力、推理論證、計(jì)算、轉(zhuǎn)化能力．