Question

如圖，在自空間一點O出發(fā)引三條射線OA，OB，OC中，平面OAB垂直于平面OBC，設(shè)直線OA和平面OBC所成的角為θ；∠AOC=β；∠BOC=γ；二面角A-OC-B的平面角為φ則有下面四個命題，
①cosβ=cosθcosγ；
②cosθ=cosβcosγ；
③sinφ=sinθsinβ；
④sinθ=sinβsinφ其中正確命題的序號是

①，④

：（寫出所有正確答案的序號）

Answer 1

分析：過A作AE⊥OB于E，過E作EF⊥OC于F，連接AF．則三棱錐A-OEF的四個面均為直角三角形．分別表示出各角的正弦，余弦，尋找驗證個選項即可．

解答：解：過A在面AOB內(nèi)作AE⊥OB于E，∵平面OAB⊥平面OBC，平面OAB∩平面OBC=OB，根據(jù)平面和平面垂直的性質(zhì)定理得知AE⊥平面OBC，∴∠AOE為直線OA和平面OBC所成的角．∴∠AOE=θ．
再過E作EF⊥OC于F，連接AF．由AE⊥平面OBC，OC?面OBC，∴AE⊥OC．
∵EF∩AE=F，∴OC⊥面AEF，
∵AF?面AEF，∴OC⊥AF．
所以cosβ=

OF

OA

，cosθ=

OE

OA

，cosγ=

OF

OE

，得出cosβ=cosθcosγ，①正確，②錯誤．
sinθ=

AE

OA

，sinβ=

AF

OA

，sinφ=

AE

AF

，得出sinθ=sinβsinφ，④正確，③錯誤．
綜上所述，①④．
故答案為：①④．

點評：本題考查了空間角的度量與表示，考查空間想象能力．推理論證、運算求解能力．