Question

設(shè)f(x)=

1

3

x3-(1+a)x2+4ax+24a，其中a∈R．
（1）若f（x）有極值，求a的取值范圍；
（2）若當(dāng)x≥0，f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意知，導(dǎo)數(shù)等于0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，△=4（1+a）²-16a=4（1-a）²＞0，由此求得a的取值范圍；
（2）先將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在x≥0時(shí)的最小值問題，再結(jié)合（1）中的單調(diào)性可確定f（x）在x=2a或x=0處取得最小值，求出最小值，即可得到a的范圍．

解答：解：（1）由題意可知：f'（x）=x²-2（1+a）x+4a，且f（x）有極值，
則f'（x）=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，故△=4（1+a）²-16a=4（1-a）²＞0，
解得：a≠1，即a∈（-∞，1）∪（1，+∞）（4分）
（2）由于x≥0，f（x）＞0恒成立，則f（0）=24a＞0，即a＞0（6分）
由于f'（x）=x²-2（1+a）x+4a=（x-2）（x-2a），則
1當(dāng)0＜a＜12時(shí)，f（x）3在x=2a4處取得極大值、在x=25處取得極小值，
則當(dāng)x≥0時(shí)，minf(x)=f(2)=28a-

4

3

＞0，解得：a＞

1

21

；（8分）
6當(dāng)a=17時(shí)，f'（x）≥08，即f（x）9在[0，+∞）10上單調(diào)遞增，且f（0）=24＞011，
則f（x）≥f（0）＞0恒成立；（10分）
12當(dāng)a＞113時(shí)，f（x）14在x=215處取得極大值、在x=2a16處取得極小值，
則當(dāng)x≥0時(shí)，minf(x)=f(2a)=-

4

3

a3+4a2+24a＞0，解得：-3＜a＜6
綜上所述，a的取值范圍是：

1

21

＜a＜6（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合運(yùn)用能力，涉及利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性．解答關(guān)鍵是利用函數(shù)在某點(diǎn)存在極值的條件，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法，以及函數(shù)的恒成立問題的解決方法．